用于非参数聚类的PyMC：估计高斯混合参数的Dirichlet过程无法聚类

问题设定

我想将PyMC应用到的第一个玩具问题之一是非参数聚类：给定一些数据，将其建模为高斯混合，并学习聚类的数目以及每个聚类的均值和协方差。我对这种方法的大部分了解来自迈克尔·乔丹（Michael Jordan）和Yee Whye Teh（大约在2007年之前）的视频讲座（在稀疏成为流行之前），以及最近两天阅读Fonnesbeck博士和E. Chen的教程[fn1]，[ fn2]。但是问题已得到充分研究，并且具有一些可靠的实现方式[fn3]。

在这个玩具问题中，我从一维高斯生成十次抽奖，并从。正如您在下面看到的那样，我没有对抽奖进行混洗，以便于分辨哪个样品来自哪个混合成分。N（μ = 4 ，σ = 2 $\mathcal{N}(\mu=0, \sigma=1)$$\mathcal{N}(\mu=4, \sigma=2)$

我对每个数据样本进行，，其中表示该第个数据点的聚类：。是使用的截短Dirichlet进程的长度：对我来说，。我= 1 ，。。。，50 ž 我我ž 我 ∈ [ 1 ，。。。，N D P ] N D P N D P = $y_i \sim \mathcal{N}(\mu_{z_i}, \sigma_{z_i})$$i=1,...,50$$z_i$$i$$z_i \in [1,...,N_{DP}]$$N_{DP}$$N_{DP}=50$

扩展Dirichlet流程基础结构，每个集群ID都是来自分类随机变量的图形，其随机变量的质量函数由结构给出：带有的a浓度参数。折断构造通过首先获得依赖于 Beta分布的 iid Beta分布绘制，构造必须为1 的长向量，请参见[fn1]。并且由于我想通过数据告知我对了解，因此我遵循[fn1]并假定 0.3，100。ž 我〜Ç 一吨ë 克ö ř 我Ç 一升（p $z_i$$z_i \sim Categorical(p)$α Ñ d P p Ñ d P α α α 〜ü Ñ 我˚F ö ř 米（0.3 ，100 $p \sim Stick(\alpha)$$\alpha$$N_{DP}$$p$$N_{DP}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \sim Uniform(0.3, 100)$

这指定了如何生成每个数据样本的集群ID。群集中的每个群集均具有关联的均值和标准差和。然后，和。 μ ž 我 σ ž 我 μ ž 我〜Ñ（μ = 0 ，σ = 50 ）σ Ž 我〜ü Ñ 我˚F ö ř 米（0 ，100 $N_{DP}$$\mu_{z_i}$$\sigma_{z_i}$$\mu_{z_i} \sim \mathcal{N}(\mu=0, \sigma=50)$$\sigma_{z_i} \sim Uniform(0, 100)$

（我以前一直不假思索地关注[fn1]，并在上放置了一个超级，即与本身是从固定参数正态分布和统一形式的。但是根据https://stats.stackexchange.com/a/71932/31187，我的数据不支持这种分层的超优先级。） μ ž 我〜Ñ（μ 0，σ 0）μ 0 σ $\mu_{z_i}$$\mu_{z_i} \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0)$$\mu_0$$\sigma_0$

总而言之，我的模型是：

$y_i \sim \mathcal{N}(\mu_{z_i}, \sigma_{z_i})$，其中从1到50（数据样本数）运行。$i$

$z_i \sim Categorical(p)$并且可以采用0到之间的值； ，一个长的向量；和，一个标量。（我现在有些遗憾地使数据样本的数量等于之前的Dirichlet的截短长度，但是我希望这很清楚。）$N_{DP}-1=49$$p \sim Stick(\alpha)$$N_{DP}$$\alpha \sim Uniform(0.3, 100)$

$\mu_{z_i} \sim \mathcal{N}(\mu=0, \sigma=50)$和。有这些平均值和标准偏差的（一个用于每个的可能簇。）$\sigma_{z_i} \sim Uniform(0, 100)$$N_{DP}$$N_{DP}$

这是图形模型：名称是变量名，请参见下面的代码部分。

问题陈述

尽管进行了几次调整和修复失败，但是学习到的参数与生成数据的真实值根本不相似。

目前，我正在将大多数随机变量初始化为固定值。将均值和标准偏差变量初始化为它们的期望值（即，正常变量为0，均等变量的支持量为中间值）。我将所有群集ID 初始化为0。然后初始化浓度参数。$z_i$$\alpha=5$

通过这样的初始化，100,000个MCMC迭代根本找不到第二个集群。的第一个元素接近1，并且所有数据样本的几乎都是相同的，大约为3.5。我在这里显示前20个数据样本的每100个抽奖，即表示：$p$$\mu_{z_i}$$i$$\mu_{z_i}$$i=1,...,20$

回顾前十个数据样本来自一种模式，其余样本来自另一种模式，以上结果显然无法捕获该数据。

如果我允许集群ID的随机初始化，那么我会获得多个集群，但是集群意味着所有集群都徘徊在相同的3.5级：

这向我表明，这是MCMC的常见问题，它无法达到其后验的另一种模式：回想一下，这些不同的结果仅在更改集群ID的初始化之后发生，而不是它们的先验或还要别的吗。$z_i$

我在建模上有任何错误吗？类似的问题：https : //stackoverflow.com/q/19114790/500207想要使用Dirichlet分布并拟合3元素高斯混合，并且遇到了类似的问题。我是否应该考虑建立完全共轭模型并使用Gi​​bbs采样进行此类聚类？（除了在白天使用固定浓度之外，我为参数Dirichlet分布情况实现了Gibbs采样器，并且效果很好，因此希望PyMC至少能够轻松解决该问题。）$\alpha$

附录：代码

import pymc
import numpy as np

### Data generation

# Means and standard deviations of the Gaussian mixture model. The inference
# engine doesn't know these.
means = [0, 4.0]
stdevs = [1, 2.0]

# Rather than randomizing between the mixands, just specify how many
# to draw from each. This makes it really easy to know which draws
# came from which mixands (the first N1 from the first, the rest from
# the secon). The inference engine doesn't know about N1 and N2, only Ndata
N1 = 10
N2 = 40
Ndata = N1+N2

# Seed both the data generator RNG  as well as the global seed (for PyMC)
RNGseed = 123
np.random.seed(RNGseed)

def generate_data(draws_per_mixand):
    """Draw samples from a two-element Gaussian mixture reproducibly.

    Input sequence indicates the number of draws from each mixand. Resulting
    draws are concantenated together.

    """
    RNG = np.random.RandomState(RNGseed)
    values = np.hstack([RNG.normal(means[i], stdevs[i], ndraws)
                        for (i,ndraws) in enumerate(draws_per_mixand)])
    return values

observed_data = generate_data([N1, N2])


### PyMC model setup, step 1: the Dirichlet process and stick-breaking

# Truncation level of the Dirichlet process
Ndp = 50

# "alpha", or the concentration of the stick-breaking construction. There exists
# some interplay between choice of Ndp and concentration: a high concentration
# value implies many clusters, in turn implying low values for the leading
# elements of the probability mass function built by stick-breaking. Since we
# enforce the resulting PMF to sum to one, the probability of the last cluster
# might be then be set artificially high. This may interfere with the Dirichlet
# process' clustering ability.
#
# An example: if Ndp===4, and concentration high enough, stick-breaking might
# yield p===[.1, .1, .1, .7], which isn't desireable. You want to initialize
# concentration so that the last element of the PMF is less than or not much
# more than the a few of the previous ones. So you'd want to initialize at a
# smaller concentration to get something more like, say, p===[.35, .3, .25, .1].
#
# A thought: maybe we can avoid this interdependency by, rather than setting the
# final value of the PMF vector, scale the entire PMF vector to sum to 1? FIXME,
# TODO.
concinit = 5.0
conclo = 0.3
conchi = 100.0
concentration = pymc.Uniform('concentration', lower=conclo, upper=conchi,
                             value=concinit)

# The stick-breaking construction: requires Ndp beta draws dependent on the
# concentration, before the probability mass function is actually constructed.
betas = pymc.Beta('betas', alpha=1, beta=concentration, size=Ndp)

@pymc.deterministic
def pmf(betas=betas):
    "Construct a probability mass function for the truncated Dirichlet process"
    # prod = lambda x: np.exp(np.sum(np.log(x))) # Slow but more accurate(?)
    prod = np.prod
    value = map(lambda (i,u): u * prod(1.0 - betas[:i]), enumerate(betas))
    value[-1] = 1.0 - sum(value[:-1]) # force value to sum to 1
    return value

# The cluster assignments: each data point's estimated cluster ID.
# Remove idinit to allow clusterid to be randomly initialized:
idinit = np.zeros(Ndata, dtype=np.int64)
clusterid = pymc.Categorical('clusterid', p=pmf, size=Ndata, value=idinit)

### PyMC model setup, step 2: clusters' means and stdevs

# An individual data sample is drawn from a Gaussian, whose mean and stdev is
# what we're seeking.

# Hyperprior on clusters' means
mu0_mean = 0.0
mu0_std = 50.0
mu0_prec = 1.0/mu0_std**2
mu0_init = np.zeros(Ndp)
clustermean = pymc.Normal('clustermean', mu=mu0_mean, tau=mu0_prec,
                          size=Ndp, value=mu0_init)

# The cluster's stdev
clustersig_lo = 0.0
clustersig_hi = 100.0
clustersig_init = 50*np.ones(Ndp) # Again, don't really care?
clustersig = pymc.Uniform('clustersig', lower=clustersig_lo,
                          upper=clustersig_hi, size=Ndp, value=clustersig_init)
clusterprec = clustersig ** -2

### PyMC model setup, step 3: data

# So now we have means and stdevs for each of the Ndp clusters. We also have a
# probability mass function over all clusters, and a cluster ID indicating which
# cluster a particular data sample belongs to.

@pymc.deterministic
def data_cluster_mean(clusterid=clusterid, clustermean=clustermean):
    "Converts Ndata cluster IDs and Ndp cluster means to Ndata means."
    return clustermean[clusterid]

@pymc.deterministic
def data_cluster_prec(clusterid=clusterid, clusterprec=clusterprec):
    "Converts Ndata cluster IDs and Ndp cluster precs to Ndata precs."
    return clusterprec[clusterid]

data = pymc.Normal('data', mu=data_cluster_mean, tau=data_cluster_prec,
                   observed=True, value=observed_data)

参考文献

1. fn1：http：//nbviewer.ipython.org/urls/raw.github.com/fonnesbeck/Bios366/master/notebooks/Section5_2-Dirichlet-Processes.ipynb
2. fn2：http：//blog.echen.me/2012/03/20/infinite-mixture-models-with-nonparametric-bayes-and-the-dirichlet-process/
3. fn3：http：//scikit-learn.org/stable/auto_examples/mixture/plot_gmm.html#example-mixture-plot-gmm-py

我不确定是否有人在看这个问题，但是我把您的问题放到了Rjags中，以测试Tom的Gibbs抽样建议，同时结合了Guy的关于标准差之前的平坦度的见解。

这个玩具问题可能很困难，因为如果没有先验信息，则10个甚至40个数据点不足以估计方差。当前的先验σzi〜Uniform（0,100）不能提供信息。这可以解释为什么几乎所有的μzi绘制都是两个分布的预期均值。如果它不能太多改变您的问题，我将分别使用100和400个数据点。

我也没有在代码中直接使用断棍过程。关于dirichlet过程的维基百科页面让我认为p〜Dir（a / k）可以。

最后，由于它仍然需要多个簇k，因此它只是一个半参数的实现。我不知道如何在Rjags中建立无限混合模型。

library("rjags")

set1 <- rnorm(100, 0, 1)
set2 <- rnorm(400, 4, 1)
data <- c(set1, set2)

plot(data, type='l', col='blue', lwd=3,
     main='gaussian mixture model data',
     xlab='data sample #', ylab='data value')
points(data, col='blue')

cpd.model.str <- 'model {
  a ~ dunif(0.3, 100)
  for (i in 1:k){
    alpha[i] <- a/k
    mu[i] ~ dnorm(0.0, 0.001)
    sigma[i] ~ dunif(0, 100)
  }
  p[1:k] ~ ddirich(alpha[1:k])
  for (i in 1:n){
    z[i] ~ dcat(p)
    y[i] ~ dnorm(mu[z[i]], pow(sigma[z[i]], -2))
  }
}' 


cpd.model <- jags.model(textConnection(cpd.model.str),
                        data=list(y=data,
                                  n=length(data),
                                  k=5))
update(cpd.model, 1000)
chain <- coda.samples(model = cpd.model, n.iter = 1000,
                      variable.names = c('p', 'mu', 'sigma'))
rchain <- as.matrix(chain)
apply(rchain, 2, mean)

您看到的混合不良很可能是因为PyMC抽取样品的方式。如PyMC文档的5.8.1节所述，数组变量的所有元素都一起更新。在您的情况下，这意味着它将尝试clustermean一步更新整个数组，对于则类似clusterid。PyMC不执行Gibbs采样；在Metropolis中，提案是由一些简单的启发式方法选择的。这使得不可能为整个数组建议一个好的值。