伽玛与对数正态分布

我有一个实验观察到的分布，看起来与gamma或对数正态分布非常相似。我已经读到对数正态分布是随机变量的最大熵概率分布，其的均值和方差是固定的。伽马分布是否具有任何类似的性质？ $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal

— OSE
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为什么在确定哪种模型合适时，这种属性会有什么价值？

— Glen_b-恢复莫妮卡

@Glen_b在统计方面我还是一个初学者，所以我的知识很基础。观察伽玛和对数正态分布的图，从质上看，它们看起来非常相似。我正在寻找两者之间的定量差异。例如，出现伽马或对数正态分布的物理应用有哪些示例？

— OSE 2013年

实际上，可能实际上都不会发生。它们是非常简单的模型，有时对现实有用（如果粗糙）。我将发布一个讨论，讨论一些质量差异的答案。

— Glen_b-恢复莫妮卡

@glen_b：原因是，如果仅测量那些统计量，则最小假设分布就是具有足够统计量的唯一指数族分布。尽管任何分布都可能是一个糟糕的现实模型，但是如果不能随意选择要进行哪些测量，那么这是选择模型的绝佳方法。

— 尼尔·G

@Glen_b由于CLT，我猜想对数正态分布应在某些物理情况下出现。

— 斯特凡·洛朗

Answers:

至于质量上的差异，对数正态和伽玛就像您所说的那样。

确实，在实践中，它们通常被用来为相同的现象建模（某些人将使用伽马，而其他人将使用对数正态）。例如，它们都是不变系数模型（对数正态的CV为，对于伽马它的 $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ ）。 $1/\sqrt \alpha$

$\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

您可能会发现查看它们的日志密度很有启发性，这通常显示出非常明显的差异。

对数正态随机变量的对数是...正常。它是对称的。

伽玛随机变量的对数为左偏斜。根据shape参数的值，它可能偏斜或接近对称。

这是一个示例，对数正态和伽玛均值为1，方差为1/4。上面的图显示了密度（伽玛为绿色，对数正态为蓝色），下面的图显示了对数的密度：

伽玛和对数正态，对数的密度和密度

（绘制日志密度的日志也很有用。也就是说，在上面的y轴上进行日志缩放）

$\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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+1。您知道伽玛对数的偏度是否存在封闭式吗？对于对数正态，对数偏度显然为零，我想知道伽马是否有某种表达式。维基百科给出了log（γ）的均值和方差的公式，但没有给出偏度的公式。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ 作为伽马函数的导数，因此可以认为走高些是可行的。因此偏斜当然是可行的，但并非特别“整洁”。如果您想追求它，我可以为您提供积分。

— Glen_b-恢复莫妮卡

但是，我们无需评估偏度即可识别其符号。检查原木密度的原木应该足以证明，因为一侧明显占主导地位。

— Glen_b-恢复莫妮卡

谢谢格伦。我决定将其发布为新问题：stats.stackexchange.com/questions/312803。我花了一些时间来寻找现成的答案，但找不到答案，因此将它写下来很容易找到，对于将来可能很有价值。它可能更适合Math.SE，但老实说，我更喜欢在这里使用它。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

$E(X)$ $E(\log X)$

要回答有关生成这些分布的物理过程的问题：对数正态分布是在X的对数呈正态分布时产生的，例如，如果X是非常小的因子的乘积。如果X是伽马分布的，则它是许多指数分布的变量之和。例如，泊松过程中许多事件的等待时间。

— 尼尔·G
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无需将“许多”指数变量设为Gamma。

— 斯特凡·洛朗