估计S型曲线笔直部分的斜率

我被赋予了这项任务，并感到沮丧。一位同事让我估算下图的和：$x_{upper}$$x_{lower}$

曲线实际上是累积分布，而x是某种度量。他很想知道当累积函数开始变得笔直并偏离笔直时，x上对应的值是多少。

我知道我们可以使用微分来找到某个点的斜率，但是我不太确定如何确定何时可以将该直线称为直线。任何对某些已经存在的方法/文学的微调将不胜感激。

如果您碰巧知道此类调查的任何相关软件包或示例，我也知道R。

非常感谢。

更新

多亏了Flounderer，我得以进一步扩展工作，建立框架并在这里和那里修改参数。为了学习，这里是我当前的代码和图形输出。

library(ESPRESSO)

x <- skew.rnorm(800, 150, 5, 3)
x <- sort(x)
meanX <- mean(x)
sdX <- sd(x)
stdX <- (x-meanX)/sdX
y <- pnorm(stdX)

par(mfrow=c(2,2), mai=c(1,1,0.3,0.3))
hist(x, col="#03718750", border="white", main="")

nq <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(nq, col="#6dc03480")

log.nq <- log(nq)
low <- lowess(log.nq)
cutoff <- .7
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.nq, col="#6dc03480")
abline(h=q, col="#348d9e")

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y,pch=16,col="#03718750", axes=F)
axis(side=1)
axis(side=2)
abline(v=c(x.lower, x.upper),col="red")
text(x.lower, 1.0, round(x.lower,0))
text(x.upper, 1.0, round(x.upper,0))

这是一个基于@alex的建议的快速而肮脏的想法。

#simulated data
set.seed(100)
x <- sort(exp(rnorm(1000, sd=0.6)))
y <- ecdf(x)(x)

看起来有点像您的数据。现在的想法是查看导数并尝试查看最大的导数。这应该是曲线中最直的部分，因为它是S形。

NQ <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(NQ)

摇摆不定是因为某些值恰好非常接近。但是，获取日志会有所帮助，然后可以使用平滑版本。$x$

log.NQ <- log(NQ)
low <- lowess(log.NQ)
cutoff <- 0.75
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.NQ)
abline(h=q)

现在，您可以尝试查找，如下所示：$x$

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y)
abline(v=c(x.lower, x.upper))

当然cutoff，当我们可以进行其他一些转换时，整个过程最终都会对平滑算法的选择以及对数的选择非常敏感。同样，对于真实数据，随机变化也可能导致此方法出现问题。导数在数值上不正确。编辑：添加输出图片。$y$