期望中的下标符号

在量度理论框架下的条件期望中，下标符号的确切含义是什么？这些下标没有出现在条件期望的定义中，但是例如，我们可能会在Wikipedia的此页面中看到。（请注意，并非总是如此，几个月前是同一页）。 $\mathbb{E}_X[f(X)]$

例如，具有和的的含义是什么？ $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— 埃米尔
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无疑，有人会用正式的定义来表达，非正式地，所有期望都是对某些（可能是多变量）随机变量（或对其的期望）的分布的期望，无论它是明确指定的还是隐含的。在许多情况下，这是显而易见的（意味着而不是）。其他时候，有必要区分；考虑总方差定律，例如：。

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b是否真的有必要在总方差定律中指定？由于，对于某些来说，是否在不清楚？

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle 2015年

@ThomasAhle您说得很对-在该示例中，“必要”一词太过强烈。从严格意义上讲，它应该很清楚，但对于不习惯使用它的读者来说，这常常是一个困惑点，因此，对其进行明确化是常见的，而不是必要的。有一些涉及期望的表达方式，如果没有明确说明就无法确定，但这并不是其中之一

— Glen_b 2015年

在涉及多个随机变量的表达式中，单独的符号并不能明确说明预期值“采用”是哪个随机变量。例如 $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ 或

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

都没有。当涉及许多随机变量，并且在符号中没有下标时，就它们的联合分布取期望值： $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

当存在下标时...在某些情况下，它告诉我们应该对哪个变量进行条件调整。所以

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

...但是在其他情况下，它告诉我们“平均”使用的密度

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

我会说，这确实令人困惑，但是谁说科学记法完全没有歧义或多种用途呢？您应该查看每个作者如何定义此类符号的用法。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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我有两个问题。1）不确定我是否理解正确，如果X或Y已固定，我能否将期望解释为前两个方程式之一？2）您能举一个等式4和等式5的例子吗？我很难解释它们，我认为具体的例子会有所帮助。谢谢！

— 天猫

@ceiling猫1）是正确的，因为本质上你不拥有两个随机变量了。同样用于将固定到。

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— 2013年

@天花板猫2）-EQ5：考虑。是一个随机变量，可以（用于适当的支持）。然后使用速记符号的特定含义，其中是的密度（无论是什么）。显然，未被积分，并且将保持不变。但是您获得的结果将不会t是一个数字（如我之前的评论），但是一个随机变量（是的函数），因为这里的是不固定的，只是没有积分出来

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat在我的前两个评论中，这两种情况下，数学计算的“力学”都是相同的。尽管最终结果有不同的解释。

— Alecos Papadopoulos

@ceiling猫2）-EQ4：考虑相同的随机变量。以为条件的期望值是（使用速记符号的其他含义）。请注意，此处的和不会直接出现在被积数中-它们在符号中“压缩” 。

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos