“内核密度估计”是什么的卷积？

我试图更好地了解内核密度估计。

使用Wikipedia中的定义：https：//en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation#Definition

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

让我们以是一个矩形函数赋予如果是间和和否则，和（窗口大小）为1。1 x − 0.5 0.5 0 $K()$$1$$x$$-0.5$$0.5$$0$$h$

我知道密度是两个函数的卷积，但是我不确定我如何定义这两个函数。其中一个应该（可能）是数据的函数，对于R中的每个点，它告诉我们该位置有多少个数据点（大多数为）。而另一个函数可能应该是对内核函数的修改，并结合窗口大小。但是我不确定如何定义它。$0$

有什么建议么？

贝娄是一个R代码示例，（我怀疑）它复制了我上面定义的设置（两个高斯的混合物，），我希望在此上看到一个“证明”，证明要卷积的函数是我们怀疑的。$n=100$

# example code:
set.seed(2346639)
x <- c(rnorm(50), rnorm(50,2))
plot(density(x, kernel='rectangular', width=1, n = 10**4))
rug(x)

对应于任何一批数据是其“经验密度函数”$X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$$f_X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-x_i).$$

在此，是“广义函数”。尽管有这个名字，它根本不是一个函数：它是一个新的数学对象，只能在积分中使用。它的定义属性是，对于在附近连续的紧凑支持的任何函数，$\delta$$g$$0$

$$\int_{\mathbb{R}}\delta(x) g(x) dx = g(0).$$

（名称包括“原子”或“点”度量和“ Dirac delta函数”。在以下计算中，此概念扩展为包括仅从一侧连续的函数。）$\delta$克$g$

证明这种特征是观察到$f_X$

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{x} f_X(y) dy &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{x} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}} I(y\le x) \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} I(x_i \le x) \\ &= F_X(x) }$$

其中是通常的经验CDF，而是通常的特征函数（等于，其参数为true，否则为）。（I跳到从紧凑支持功能移动到过定义功能所需要的基本限制参数因为只需要为的范围内的值被定义，它是紧凑的，这是没有问题的。）$F_X$$I$$1$$0$$\mathbb{R}$$I$$X$

根据定义，给出与任何其他函数的卷积$f_X(x)$$k$

$$\eqalign{ (f_X * k)(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_X(x - y) k(y) dy \\ &=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} k(x_i-x). }$$

令（与对称核的相同-并且大多数核是对称的），我们得到了所要求的结果：Wikipedia公式是一个卷积。$k(x) = K_h(-x)$$K_h(x)$