如何评估两个直方图的相似性？

给定两个直方图，我们如何评估它们是否相似？

仅看两个直方图就足够了吗？简单的一对一映射存在以下问题：如果直方图略有不同并且略有偏移，那么我们将无法获得所需的结果。

有什么建议么？

最近的一篇论文可能值得一读：

Cao，Y.Petzold，L .化学反应系统随机模拟中的精度限制和误差测量，2006年。

尽管本文的重点是比较随机仿真算法，但本质上主要的思想是如何比较两个直方图。

您可以从作者的网页访问pdf。

两个直方图之间有很多距离量度。您可以在以下位置阅读这些措施的良好分类：

K. Meshgi和S.Ishii，Proc.National.Proc.Natl.Acad.Sci.USA中，“用网格扩展颜色的直方图以提高跟踪精度”。2015年5月，日本东京，MVA'15会议开幕。

为了方便起见，此处列出了最受欢迎的距离功能：

• $L_0$　或赫林格距离

$D_{L0} = \sum\limits_{i} h_1(i) \neq h_2(i)$

• $L_1$，曼哈顿或城市街区距离

$D_{L1} = \sum_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• $L=2$或欧氏距离

$D_{L2} = \sqrt{\sum_{i}\left( h_1(i) - h_2(i) \right) ^2 }$

• 大号∞或Chybyshev距离$_{\infty}$

$D_{L\infty} = max_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• L p或分数距离（Minkowski距离族的一部分）$_p$

$D_{Lp} = \left(\sum\limits_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert ^p \right)^{1/p}$和$0<p<1$

• 直方图相交

$D_{\cap} = 1 - \frac{\sum_{i} \left(min(h_1(i),h_2(i) \right)}{min\left(\vert h_1(i)\vert,\vert h_2(i) \vert \right)}$

• 余弦距离

$D_{CO} = 1 - \sum_i h_1(i)h2_(i)$

• 堪培拉距离

$D_{CB} = \sum_i \frac{\lvert h_1(i)-h_2(i) \rvert}{min\left( \lvert h_1(i)\rvert,\lvert h_2(i)\rvert \right)}$

• 皮尔逊相关系数

$D_{CR} = \frac{\sum_i \left(h_1(i)- \frac{1}{n} \right)\left(h_2(i)- \frac{1}{n} \right)}{\sqrt{\sum_i \left(h_1(i)- \frac{1}{n} \right)^2\sum_i \left(h_2(i)- \frac{1}{n} \right)^2}}$

• 柯尔莫哥洛夫-史密尔诺夫（Kolmogorov-Smirnov Divergance）

$D_{KS} = max_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• 比赛距离

$D_{MA} = \sum\limits_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• Cramer-von Mises距离

$D_{CM} = \sum\limits_{i}\left( h_1(i) - h_2(i) \right)^2$

• $\chi^2$统计

$D_{\chi^2} = \sum_i \frac{\left(h_1(i) - h_2(i)\right)^2}{h_1(i) + h_2(i)}$

• Bhattacharyya距离

$D_{BH} = \sqrt{1-\sum_i \sqrt{h_1(i)h_2(i)}}$和hellinger

• 平方和弦

$D_{SC} = \sum_i\left(\sqrt{h_1(i)}-\sqrt{h_2(i)}\right)^2$

• 库尔贝克-利勃勒分差

$D_{KL} = \sum_i h_1(i)log\frac{h_1(i)}{m(i)}$

• 杰弗里发散

$D_{JD} = \sum_i \left(h_1(i)log\frac{h_1(i)}{m(i)}+h_2(i)log\frac{h_2(i)}{m(i)}\right)$

• 地球移动者的距离（这是将距离分类信息$A$嵌入距离中的运输距离的第一个成员，有关更多信息，请参阅上述论文或Wikipedia条目。

$D_{EM} = \frac{min_{f_{ij}}\sum_{i,j}f_{ij}A_{ij}}{sum_{i,j}f_{ij}}$ $\sum_j f_{ij} \leq h_1(i) , \sum_j f_{ij} \leq h_2(j) , \sum_{i,j} f_{ij} = min\left( \sum_i h_1(i) \sum_j h_2(j) \right)$$f_{ij}$$i$$j$

• 二次距离

$D_{QU} = \sqrt{\sum_{i,j} A_{ij}\left(h_1(i) - h_2(j)\right)^2}$

• 二次Chi距离

$D_{QC} = \sqrt{\sum_{i,j} A_{ij}\left(\frac{h_1(i) - h_2(i)}{\left(\sum_c A_{ci}\left(h_1(c)+h_2(c)\right)\right)^m}\right)\left(\frac{h_1(j) - h_2(j)}{\left(\sum_c A_{cj}\left(h_1(c)+h_2(c)\right)\right)^m}\right)}$$\frac{0}{0} \equiv 0$

我的GitHub存储库中提供了其中一些距离的Matlab实现：https : //github.com/meshgi/Histogram_of_Color_Advancements/tree/master/distance 您也可以搜索Yossi Rubner，Ofir Pele，Marco Cuturi和Haibin Ling之类的人更先进的距离。

更新：有关距离的替代解释出现在文献中的各处，因此为了完整起见，在此列出它们。

• 堪培拉距离（另一个版本）

$D_{CB}=\sum_i \frac{|h_1(i)-h_2(i)|}{|h_1(i)|+|h_2(i)|}$

• $D_{L0}$

$D_{BC} = 1 - \frac{2 \sum_i h_1(i) = h_2(i)}{\sum_i h_1(i) + \sum_i h_2(i)}$

• 雅卡德距离（即联合的交集，另一个版本）

$D_{IOU} = 1 - \frac{\sum_i min(h_1(i),h_2(i))}{\sum_i max(h_1(i),h_2(i))}$

这个问题的标准答案是卡方检验。KS测试适用于未绑定的数据，而不适用于已绑定的数据。（如果您有未绑定的数据，则请务必使用KS风格的测试，但是如果您只有直方图，则不适合使用KS测试。）

您正在寻找Kolmogorov-Smirnov检验。不要忘记将条形高度除以每个直方图的所有观测值之和。

注意，例如，如果分布的均值相对于彼此偏移，则KS检验也会报告差异。如果直方图沿x轴的平移在您的应用程序中没有意义，则可能需要首先从每个直方图中减去平均值。

正如David的答案所指出的，由于KS检验假定连续分布，因此对于合并数据，必须进行卡方检验。关于为什么KS检验不合适（naught101的评论），在应用统计文献中对此问题进行了一些讨论，值得在此提出。

您可以计算两个直方图之间的互相关（卷积）。这将考虑到轻微的翻译。