IID随机变量和的商的期望（剑桥大学工作表）

我正在准备一个面试，要求对基础概率有相当的了解（至少要通过面试本身）。从学生时代开始，我正在整理以下表格。这通常是相当简单的，但是我完全被问题12困扰。

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

任何帮助，将不胜感激。

编辑：问题是：

假设是具有和独立均匀分布的正随机变量。令。显示当时，并且时。 $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

实际上，在键入内容的过程中，我已经解决了第二部分。

对于， $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

并且上述比率的分子和分母显然是独立的，因此：

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

我们获得了预期的结果。

我仍然停留在第一部分。

probability self-study random-variable

— 间谍领主
source

重要的是，职位必须自成体系。请对此进行编辑以包含问题的可读版本。我们还要求您指出您尝试过的方法以及所取得的进展（如果有的话）；否则，我们没有依据来评估编写答案的水平。

— ub

根据要求更新。

— Spy_Lord

做得好！这是对第一部分的建议：将相同的副本加在一起时，看起来总和将具有一个分布，其期望值仅使用iid假设即可轻松计算。

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— Whuber

感谢您提出的建议。我认为这将是对我们网站的有用补充。

— ub

可以，我认为我最初认为正确的步骤，然后确定是错误的步骤，实际上可以！本质上，当您到达，根据iid属性，此值与您可以确认吗？如果是这样，我会在事后输入。

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord

Answers:

发现添加相同的副本非常聪明！但是我们当中有些人并不那么聪明，因此能够将“大创意”“推迟”到一个更明显的做法是一个很好的选择。在不知道从哪里开始的情况下，似乎有很多线索表明对称可能真的很重要（加法是对称的，并且我们有一些求和，而且iid变量具有相同的期望，因此也许可以用有用的方式交换或重命名）。实际上，这个问题的“难点”在于如何处理除法运算，这种运算是不对称的。我们如何利用求和的对称性？根据期望的线性，我们有： $n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

但是基于对称性，假设是iid和，则右边的所有项都相同！为什么？将和的标签切换为。分母切换位置中的两个项，但在重新排序后仍为，而分子从变为。因此。让我们写为和由于存在这样的术语，我们有。 $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

看来会产生正确的结果。但是如何证明呢？我们知道 $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

只是在这个阶段，我才意识到我应该将它们加在一起，以获得

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

这种方法的优点是它保留了问题两部分的统一性。对称性被破坏的原因，当时，需要进行调整，这是根据分子的是否位于分母的和中之后，在应用期望线性之后，右侧的项将为两种类型。（与以前一样，如果和都出现在分母中，则可以切换标签和，因为这只是对和重新排序，或者两者都不做，因为这显然不会使和保持不变，但是如果一个和一个都没有，则一个在分母变化来看，它不再款项）。对于，我们有 $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ ，对于我们有，例如。由于我们有前一个术语的和后者的， $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

然后找到是直接使用的独立性和对于： $r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

因此，相同的“技巧”适用于两个部分，如果，则只涉及两种情况。我怀疑这就是为什么问题的两个部分按此顺序给出的原因。 $m>n$

— 蠹虫
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很好地阐述了您在解决问题时的想法，并使nk步骤明确（我的回答有点说“很明显”）。干杯!

— Spy_Lord，

感谢whuber为第一部分提供了提示。

对于考虑 $nS_m/S_n$ $m<=n$

我们有 $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

通过iid属性，它等于：

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

因此，对于 $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— 间谍领主
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