自举样本的样本均值方差

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令为不同的观察值（无联系）。令表示引导程序样本（来自经验CDF的样本），并令。找到和。 $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

到目前为止，我得到的是 $X_{i}^{*}$ 是 $X_{1},...,X_{n}$ 每个概率为 $\frac{1}{n}$ 所以

Ë （ X_{一世}^{*} ） = \frac{1个}{ñ} Ë （ X_{1个} ） + 。 。 。 + \frac{1个}{ñ} Ë （ X_{ñ} ） = \frac{ñ μ}{ñ} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$ 和

Ë （ X_{一世}^{* 2} ） = \frac{1个}{ñ} Ë （ X_{1个}^{2} ） + 。 。 。 + \frac{1个}{ñ} Ë （ X_{ñ}^{2} ） = \frac{ñ （ μ^{2} + σ^{2} ）}{ñ} = μ^{2} + σ^{2} ，

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$ 给出

V 一个 [R （ X_{一世}^{*} ） = Ë （ X_{一世}^{* 2} ） - （ Ë （ X_{一世}^{*} ） ）^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} 。

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

然后，

Ë （ {\bar{X}}_{ñ}^{*} ） = Ë （ \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世}^{*} ） = \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} Ë （ X_{一世}^{*} ） = \frac{ñ μ}{ñ} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$ 和

V 一个 [R （ {\bar{X}}_{ñ}^{*} ） = V 一个 [R （ \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世}^{*} ） = \frac{1个}{ñ^{2}} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} V 一个 [R （ X_{一世}^{*} ）

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$ 因为

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$ ' s是独立的。这给出

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

但是，当我以 $X_{1},\ldots,X_{n}$ 为条件并使用公式进行条件方差时，我不会得到相同的答案：

V 一个 [R （ {\bar{X}}_{ñ}^{*} ） = Ë （ V 一个 [R （ {\bar{X}}_{ñ}^{*} | X_{1个} ， 。 。 。 ， X_{ñ} ） ） + V 一个 [R （ Ë （ {\bar{X}}_{ñ}^{*} | X_{1个} ， \dots ， X_{ñ} ） ） 。

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ 和 $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ 因此将它们插入上述公式可得出（经过一些代数运算） $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$ 。

我在这里做错什么了吗？我的感觉是我没有正确使用条件方差公式，但不确定。任何帮助，将不胜感激。

— 鲁鲁斯
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也许您的V（E（X | X1..Xn））计算不正确。答案应该是相同的。

您可能是对的，但是这个答案似乎并不能提供足够的信息。也许您可以指出哪一部分不正确？

— ub

5

正确答案是。解决方案在这里是＃4 $\frac{n-1}{n^2}S^2$

— 格雷格
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4

这可能是一个较晚的答案，但是计算中的错误如下：您假设无条件引导样本为iid。这是错误的：以您的样本为条件，引导样本确实是iid，但无条件地会失去独立性（但是您仍然具有相同分布的随机变量）。这本质上是Larry Wasserman中的练习13，所有非参数统计。

— M urge
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