将标准化的beta转换回原始变量

我意识到这可能是一个非常简单的问题，但是在搜索后找不到所需的答案。

我有一个需要标准化变量的问题，需要运行（岭回归）来计算beta的岭估计。

然后，我需要将它们转换回原始变量比例。

但是我该怎么做呢？

我找到了双变量情况的公式

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

这在D. Gujarati的《基本计量经济学》第175页，公式（6.3.8）中给出。

凡是在标准化的变量从回归运行的估计和是一样的估计转换回原来的规模，是因变量的样本标准差，以及是样本标准差。 $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

不幸的是，这本书没有涵盖多元回归的类似结果。

另外我不确定我是否理解双变量情况？简单的代数运算以原始比例给出的公式： $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

在我看来，对已经由放气的变量计算的必须再次由放气才能转换回去吗？（加上为什么不重新添加平均值？） $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

因此，有人可以在理想情况下通过推导解释多变量案例的处理方法，以便我可以理解结果吗？

regression standard-error standardization predictor centering

— 巴兹
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对于使用标准化变量的回归模型，我们对回归线采用以下形式

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

其中是第j个（标准化）回归，从产生通过减去样本平均值和由样本标准偏差除以： $z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

使用标准化回归变量进行回归，我们获得拟合的回归线：

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

现在，我们希望找到非标准化预测变量的回归系数。我们有

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

重新排列后，该表达式可以写成

\hat{ÿ} = （ {\hat{β}}_{0} - \sum_{Ĵ = 1个}^{ķ} {\hat{β}}_{Ĵ} \frac{{\bar{X}}_{Ĵ}}{{小号}_{Ĵ}} ） + \sum_{Ĵ = 1个}^{ķ} （ \frac{{\hat{β}}_{Ĵ}}{{小号}_{Ĵ}} ） X_{Ĵ}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

$\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

在目前的情况下，我假设只有预测变量已经标准化。如果还可以将响应变量标准化，则可以使用给定参考中的公式将协变量系数转换回原始比例。我们有：

\frac{Ë [ÿ] - \hat{ÿ}}{{小号}_{ÿ}} = β_{0} + \sum_{Ĵ = 1个}^{ķ} β_{Ĵ} ž_{Ĵ}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

进行回归，得到拟合的回归方程

{\hat{ÿ}}_{s C 一种 升 Ë d} = \frac{{\hat{ÿ}}_{ü ñ s C 一种 升 Ë d} - \bar{ÿ}}{{小号}_{ÿ}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{Ĵ = 1个}^{ķ} {\hat{β}}_{Ĵ} （ \frac{X_{Ĵ} - {\bar{X}}_{Ĵ}}{{小号}_{Ĵ}} ） ，

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

$S_y$ $y$

{\hat{ÿ}}_{ü ñ s C 一种 升 Ë d} = {\hat{β}}_{0} {小号}_{ÿ} + \bar{ÿ} + \sum_{Ĵ = 1个}^{ķ} {\hat{β}}_{Ĵ} （ \frac{{小号}_{ÿ}}{{小号}_{Ĵ}} ） （ X_{Ĵ} - {\bar{X}}_{Ĵ} ） 。

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

$\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— 菲利普·伯克哈特（Philipp Burckhardt）
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