解释残差与拟合值的关系图，以验证线性模型的假设

考虑下Faraway的带有R的线性模型的图形（2005年，第59页）。

第一个图似乎表明残差和拟合值不相关，因为它们应该在具有正态分布误差的均线线性模型中。因此，第二和第三幅图似乎表明了残差和拟合值之间的相关性，提出了不同的模型。

但是，正如Faraway所述，为什么第二个图建议一个异方差线性模型，而第三个图建议一个非线性模型呢？

第二个图似乎表明残差的绝对值与拟合值强烈正相关，而在第三个图中没有明显的趋势。因此，从理论上讲，如果存在具有正态分布误差的异方差线性模型，

（其中左侧的表达式是残差和拟合值之间的方差-协方差矩阵），这可以解释为什么第二和第三曲线与Faraway的解释一致。

但是是这样吗？如果不是，那么法拉威对第二和第三情节的解释又如何呢？另外，为什么第三幅图必然表示非线性？它是否可能是线性的，但是误差不是正态分布的，还是不是正态分布的，而是不以零为中心？

以下是这些残差图，其中每个拟合值（并因此）的近似平均值和点的散布度（极限值包括大多数值），标记为-，近似表示条件均值（红色）和条件均值（大约！）两倍于条件标准偏差（紫色）：$x$$\pm$

• 第二个图显示平均残差不随拟合值变化（因此也不随改变），但是残差的分布（因此沿拟合线的分布）随着拟合值（或）发生变化。即，价差不是恒定的。异方差。$x$$y$$x$

• 第三幅图显示，当拟合值较小时，残差大部分为负；当拟合值处于中间时，残差大部分为正；而当拟合值较大时，残差为负。也就是说，传播近似恒定，但条件均值不是-拟合线不能描述随着变化而表现的方式，因为该关系是弯曲的。$y$$x$

它是否可能是线性的，但是误差不是正态分布的，还是不是正态分布的，而是不以零为中心？

并非真的*，在这些情况下，图看起来与第三图不同。

（i）如果误差是正常的，但不是以零为中心，而是以为中心，则截距将获取平均误差，因此估计的截距将为的估计值（即期望值，但估计有误）。因此，您的残差仍将具有条件均值为零，因此该图看起来像上面的第一个图。$\theta$$\beta_0+\theta$

（ii）例如，如果误差不是正态分布的，则点的图案可能是除中心线以外最密集的点（如果数据偏斜），但是局部均值残差仍将接近0。

此处的紫色线仍然代表（非常）大约95％的间隔，但不再对称。（为了避免混淆这里的基本要点，我在讨论几个问题）。

*不一定是不可能的 -如果您有一个“错误”术语，它的行为并不像错误一样-说出和以正确的方式与它们相关联-您可能能够产生类似这样的模式。但是，我们对误差项进行假设，例如，它与不相关，并且均值为零；为此，我们必须至少打破某些假设。（在许多情况下，您可能有理由得出结论，认为这种影响应该不存在或至少相对较小。）$x$$y$$x$

你写了

第二个图似乎表明残差的绝对值与拟合值强烈正相关，

它没有“似乎”，但确实如此。这就是异方差的含义。

然后，您给出一个全1的矩阵，这是无关紧要的。相关可以存在并且小于1。

然后你写

另外，为什么第三幅图必然表示非线性？它是否可能是线性的，但是误差不是正态分布的，还是不是正态分布的，而是不以零为中心？

它们确实以0为中心。一半左右位于0以下，一半位于上方。很难确定它们是否从该图中正态分布，但是通常推荐的另一个图是残差的分位数正态图，这将显示它们是否为正态。