拟合“简单”测量误差模型的方法

我正在寻找可用于估计“ OLS”测量误差模型的方法。

y_{i} = Y_{i} + e_{y, i}

$y_{i}=Y_{i}+e_{y,i}$

x_{i} = X_{i} + e_{x, i}

$x_{i}=X_{i}+e_{x,i}$

Y_{i} = α + β X_{i}

$Y_{i}=\alpha + \beta X_{i}$

其中的误差是独立的正常与未知方差和。在这种情况下，“标准” OLS无效。 $\sigma_{y}^{2}$ $\sigma_{x}^{2}$

维基百科有一定的吸引力的解决方案-这两个给力您认为无论是“变化率” 或“可靠性比” $\delta=\frac{\sigma_{y}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}$ 是已知的，其中是真回归的方差。我对此不满意，因为不知道方差的人怎么知道其比率？ $\lambda=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{X}^{2}}$ $\sigma_{X}^2$ $X_i$

无论如何，除了这两个以外，还有其他解决方案不需要我“了解”参数的任何信息吗？

仅截距和斜率的解决方案就可以了。

regression estimation errors-in-variables

— 概率逻辑
source

Wikipedia文章本身为您提供了该问题的答案。如果假设“真实”回归变量是正态的，则需要进一步确定误差分布。如果真正的回归器不是高斯式的，那么您就有希望了。参见Reiersol（1950）。

— 主教

另外，“仅截距和斜率的解决方案就可以了”是什么意思。这些是您仅有的两个参数！还是您也想尝试撤消“真实”回归器？

— 主教

@cardinal-我的意思是我并不特别在乎两个比例尺参数，正如您所说的那样，“真”回归器

。

X_{i}

$X_{i}$

— 概率

我知道了。那讲得通。

— 主教

JW Gillard在“线性回归的两个变量均具有误差的历史概述”中描述了多种可能性

$(\bar{x},\bar{y})$ $\hat{\beta}=s_y/s_x$ $x$ $y$ $y$ $\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}.$

这种特殊方法的优点是

$x$ $y$ $y$ $x$
它是比例不变的，因此您不必担心单位，
它位于两条普通的线性回归线之间
它越过它们，它们在观测的质心处彼此交叉，并且
这很容易计算。

$x$ $y$

$Y$ $X$ $X$ $Y$

X0 <- 1600:3600
Y0 <- 5*X0 + 700
X1 <- X0 + 400*rnorm(2001)
Y1 <- Y0 + 2000*rnorm(2001)
slopeOLSXY  <- lm(Y1 ~ X1)$coefficients[2]     #OLS slope of Y on X
slopeOLSYX  <- 1/lm(X1 ~ Y1)$coefficients[2]   #Inverse of OLS slope of X on Y
slopesimple <- sd(Y1)/sd(X1) *sign(cov(X1,Y1)) #Simple slope
c(slopeOLSXY, slopeOLSYX, slopesimple)         #Show the three slopes
plot(Y1~X1)
abline(mean(Y1) - slopeOLSXY  * mean(X1), slopeOLSXY,  col="red")
abline(mean(Y1) - slopeOLSYX  * mean(X1), slopeOLSYX,  col="blue")
abline(mean(Y1) - slopesimple * mean(X1), slopesimple, col="green")

— 亨利
source

\hat{β}

$\hat{\beta}$

{y_{i}}

$\{y_i\}$

{x_{i}}

$\{x_i\}$

σ

$\sigma$

s

$s$

{\hat{β}}_{x y}

$\hat{\beta}_{xy}$

y

$y$

x

$x$

{\hat{β}}_{y x}

$\hat{\beta}_{yx}$

x

$x$

y

$y$

{\hat{β}}_{x y} = \hat{ρ} s_{y} / s_{x}

$\hat{\beta}_{xy} = \hat{\rho}s_y / s_x$

{\hat{β}}_{y x} = \hat{ρ} s_{x} / s_{y}

$\hat{\beta}_{yx} = \hat{\rho} s_x / s_y$

\hat{ρ}

$\hat{\rho}$

x

$x$

y

$y$

\hat{ρ}

$\hat{\rho}$

x = b y + c

$x = by+c$

1 / b

$1/b$

y = x / b - c / b

$y=x/b-c/b$

y

$y$

x

$x$

\hat{ρ} s_{y} / s_{x}

$\hat{\rho}s_y/s_x$

s_{y} / \hat{ρ} s_{x}

$s_y/\hat{\rho}s_x$

s_{y} / s_{x}

$s_y/s_x$

y

$y$

x

$x$

Y

$Y$

X

$X$