这是一个非常基本的问题。为什么我们使用卡方分布？这种分布是什么意思？为什么将这种分布用于创建方差的置信区间？

我用Google搜索的每个地方都只是说明了一个事实，说明了何时使用chi，但没有说明为什么要使用chi，以及为什么会使用它。

非常感谢任何可以将我引向正确方向的人，也就是-真正理解我为方差创建置信区间时为什么使用chi的原因。

快速回答

其理由是因为，假设数据是独立同分布和$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$，并限定

$$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$$ 形成置信区间的情况下，与所述样本方差（相关联的采样分布$S^2$！，记住，一个随机变量）是卡方分布（$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$），就像用样本均值相关联的抽样分布是一个标准的正态分布（$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$），当你知道的方差，并且与当你不叔学生（$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$）。

长答案

首先，我们将证明，$S^2(N-1)/\sigma^2$如下与卡方分布$N-1$自由度。之后，我们将看到该证明在推导方差的置信区间时如何有用，以及卡方分布如何显示（以及为什么如此有用！）。让我们开始。

证据

为此，也许您必须习惯此Wikipedia文章中的卡方分布。这个分布仅仅具有一个参数：自由度，的，并碰巧具有矩生成函数（MGF）由下式给出： 米χ 2 ν（吨）= （1 - 2 吨）- ν / 2。 如果我们能表明的分布小号2（Ñ - 1 ）/ σ 2具有像这样的一个时刻生成函数，但与ν $\nu$

$$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$，则我们已经表明，小号2（Ñ - 1 ）/ σ 2如下与卡方分布 ñ - 1个自由度。为了显示这一点，请注意两个事实：$\nu=N-1$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

1. 如果我们定义， 其中ž我〜Ñ（0，1），即，标准正态随机变量，瞬间生成函数ý由下式给出 米ý（吨

   $$\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$$ $Z_i\sim N(0,1)$$Y$Z2 的MGF由 m Z 2（t $$\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$$ $Z^2$ 其中，我已经使用标准正态，的PDF˚F（ż）=ë- ž 2 / 2/ $$\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$$ ，因此， 米ÿ（吨）=（1-2吨） - ñ / 2， 这意味着ý如下与卡方分布Ñ自由度。$f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ $$\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$$ $Y$$N$

2. $Y_1$$Y_2$$\nu_1$$\nu_2$$W=Y_1+Y_2$$\nu_1+\nu_2$$W$

$N-1$

$$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$$ $\sigma^2$ 注意，该和的左侧的第二项以具有1个自由度的卡方分布分布，而右侧的和以具有N个自由度的卡方分布。因此，š2（Ñ-1）/σ2分配作为卡方与ñ-1个自由度。 $$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$$ $N$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

计算方差的置信区间。

$L_1$$L_2$

$$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)$ $$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$ $$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$ $$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$$ (we integrate up to $N-1$ because the expected value of a chi-squared random variable with $N-1$ degrees of freedom is $N-1$) or, equivalently, $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$$ Calling $\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$ and $\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$, where the values $\chi^2_{\alpha/2}$ and $\chi^2_{1-\alpha/2}$ can be found in chi-square tables (in computers mainly!) and solving for $L_1$ and $L_2$, $$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$$ Hence, your confidence interval for the variance is $$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$$