为什么rand（）^ 2的分布与rand（）* rand（）不同？

在Libre Office Calc中，该rand()函数可用，该函数从均匀分布中选择一个介于0和1之间的随机值。我对自己的机率有些不满意，所以当我看到以下行为时，我感到困惑：

A = 200x1的 rand()^2

B = 200x1的 rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

为什么是mean(A)！= 1/4？

expected-value random-generation uniform

— Jefftopia
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因为随机变量的平方的期望值不等于其期望值的平方。

— Michael M

如果rand()像其他类似运算符一样操作，则A是相同的随机数平方，而B是两个随机数相乘。

— 彼得·弗洛姆

我明白。但是，如果我能看到数学说明的内容，或者链接到执行此操作的资源，那将非常有帮助。

— Jefftopia

简化情况可能有助于您理解要点。假设Rand()被替换为Int(2*Rand())：这以相等的概率取值

和

。其平方有两种可能，两种（独立）值的乘积有四种可能性：当您计算出他们的期望时会发生什么？

0

$0$

1

$1$

— Whuber

Answers:

考虑矩形可能会有所帮助。想象一下，您有机会免费获得土地。土地的大小将由（a）随机变量的一种实现或（b）同一随机变量的两种实现来确定。在第一种情况（a）中，面积将是一个正方形，边长等于采样值。在第二种情况（b）中，两个采样值将代表矩形的宽度和长度。您选择哪一种？

令为正随机变量的实现。 $\mathbf{U}$

a）一个实现的期望值确定等于的平方面积。平均而言，该区域的大小为 $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

Ë [ü^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

b）中如果有两个独立的实现和，该区将。平均来说，该尺寸等于因为两者实现是从相同的分布和独立的。 $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

Ë [ü_{1个} \cdot ü_{2}] = Ë^{2} [ü]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

当我们计算区域a）和b）的大小之差时，我们得到

Ë [ü^{2}] - Ë^{2} [ü]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

上项与相同，后者固有地大于或等于。 $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

这适用于一般情况。

在示例中，从均匀分布采样。因此， $\mathcal{U}(0,1)$

Ë [ü] = \frac{1个}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

这些值是通过分析得出的，但它们与您使用随机数生成器获得的值匹配。

— 斯文·霍恩斯坦
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a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

这是方差的巧妙用法。在这里，我将直接进行数学运算。

— Affine

这对我来说很有意义。这一切都取决于方差是非负的。我也对约翰如何得到答案感到好奇。

— Jefftopia

基本上只是遵循Sven的所作所为，但是用公式代替了它们，以获得更通用的均匀分布。

— 约翰

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

并不建议Sven的出色回答中缺少任何内容，但我想提出一个相对简单的问题。

考虑绘制每个产品的两个组成部分，以查看联合分布非常不同。

plot of u1 vs u2 and u1 vs u1

请注意，当两个分量都较大时，乘积往往只会变大（接近1），而当两个分量完全相关而不是独立时，则更容易发生。

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$

完全不同！

这可能有助于在上面的图形上绘制等积轮廓-即对于xy =恒定的曲线，其值分别为0.5、0.6、0.7、0.8、0.9。当您使用越来越大的值时，对于独立情况，轮廓上方和右侧的点比例下降得更快。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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