为了制作这张图表，我从均值= 0和sd = 1的正态分布中生成了大小不同的随机样本。然后使用t.test（）函数使用从0.001到.999（红线）范围内的alpha截止值来计算置信区间，并使用下面的代码在线下计算代码的轮廓似然性（我可以暂时找不到链接：编辑：找到它），这由蓝线表示。绿线表示使用R density（）函数的归一化密度，数据由每个图表底部的方框图显示。右边是95％置信区间（红色）和最大似然区间的1/20（蓝色）的毛毛虫图。

用于轮廓可能性的R代码：

  #mn=mean(dat)
  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )

我的具体问题是，这两种类型的间隔之间是否存在已知关系，为什么除了n = 3以外，所有情况下的置信区间似乎都比较保守。还需要有关我的计算是否有效（以及一种更好的方法）以及这两种类型的区间之间的一般关系的评论/答案。

R代码：

samp.size=c(3,4,5,10,20,1000)
cnt2<-1
ints=matrix(nrow=length(samp.size),ncol=4)
layout(matrix(c(1,2,7,3,4,7,5,6,7),nrow=3,ncol=3, byrow=T))
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,4.1))
for(j in samp.size){


  #set.seed(200)
  dat<-rnorm(j,0,1)
  vals<-seq(.001,.999, by=.001)
  cis<-matrix(nrow=length(vals),ncol=3)
  cnt<-1
  for(ci in vals){
    x<-t.test(dat,conf.level=ci)$conf.int[1:2]
    cis[cnt,]<-cbind(ci,x[1],x[2])
    cnt<-cnt+1
  }


  mn=mean(dat)
  n=length(dat)
  high<-max(c(dat,cis[970,3]), na.rm=T)
  low<-min(c(dat,cis[970,2]), na.rm=T)
  #high<-max(abs(c(dat,cis[970,2],cis[970,3])), na.rm=T)
  #low<--high


  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )


  plot(muVals, likVals, type = "l", lwd=3, col="Blue", xlim=c(low,high),
       ylim=c(-.1,1), ylab="Likelihood/Alpha", xlab="Values",
       main=c(paste("n=",n), 
              "True Mean=0 True sd=1", 
              paste("Sample Mean=", round(mn,2), "Sample sd=", round(sd(dat),2)))
  )
  axis(side=4,at=seq(0,1,length=6),
       labels=round(seq(0,max(density(dat)$y),length=6),2))
  mtext(4, text="Density", line=2.2,cex=.8)

  lines(density(dat)$x,density(dat)$y/max(density(dat)$y), lwd=2, col="Green")
  lines(range(muVals[likVals>1/20]), c(1/20,1/20), col="Blue", lwd=4)
  lines(cis[,2],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[,3],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2:3],rep(.05,2), 
        lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(v=mn, lty=2, lwd=2)
  #abline(h=.05, lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(h=0, lty=1, lwd=3)
  abline(v=0, lty=3, lwd=1)

  boxplot(dat,at=-.1,add=T, horizontal=T, boxwex=.1, col="Green")
  stripchart(dat,at=-.1,add=T, pch=16, cex=1.1)

  legend("topleft", legend=c("Likelihood"," Confidence Interval", "Sample Density"),
         col=c("Blue","Red", "Green"), lwd=3,bty="n")

  ints[cnt2,]<-cbind(range(muVals[likVals>1/20])[1],range(muVals[likVals>1/20])[2],
                     cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2],cis[which(round(cis[,1],3)==.95),3])
  cnt2<-cnt2+1
}
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,2.1))


plot(0,0, type="n", ylim=c(1,nrow(ints)+.5), xlim=c(min(ints),max(ints)), 
     yaxt="n", ylab="Sample Size", xlab="Values")
for(i in 1:nrow(ints)){
  segments(ints[i,1],i+.2,ints[i,2],i+.2, lwd=3, col="Blue")
  segments(ints[i,3],i+.3,ints[i,4],i+.3, lwd=3, col="Red")
}
axis(side=2, at=seq(1.25,nrow(ints)+.25,by=1), samp.size)

我不会给出完整的答案（我很难理解您正在做什么），但是我将尝试阐明轮廓可能性的建立方式。我可以稍后再回答。

对于大小的正常样品的充分可能性是 大号（μ ，σ 2）= （σ 2 ） - ñ / 2 EXP （ - Σ我（X 我 - μ ）2 / 2 σ 2 ）$n$

$$L(\mu, \sigma^2) = \left( \sigma^2 \right)^{-n/2} \exp\left( - \sum_i (x_i-\mu)^2/2\sigma^2 \right).$$

如果是你感兴趣的参数，和σ 2是多余参数，一个解决方案，使推理只在μ是定义模板可能性 大号$\mu$$\sigma^2$$\mu$ 其中 ^ σ 2（μ ）是用于MLE μ固定： ^ σ 2（μ ）= argmax σ 2大号（μ

$$L_P(\mu) = L\left(\mu, \widehat{\sigma^2}(\mu) \right)$$ $\widehat{\sigma^2}(\mu)$$\mu$ $$\widehat{\sigma^2}(\mu) = \text{argmax}_{\sigma^2} L(\mu, \sigma^2).$$

$$\widehat{\sigma^2}(\mu) = {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2.$$

$$L_P(\mu) = \left( {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2 \right)^{-n/2} \exp( -n/2 ).$$

$\exp(-n/2)$

> data(sleep)
> difference <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
> Lp <- function(mu, x) {n <- length(x); mean( (x-mu)**2 )**(-n/2) }
> mu <- seq(0,3, length=501)
> plot(mu, sapply(mu, Lp, x = difference), type="l")

与可能性的链接我将尝试用下图突出显示与可能性的链接。

首先定义可能性：

L <- function(mu,s2,x) {n <- length(x); s2**(-n/2)*exp( -sum((x-mu)**2)/2/s2 )}

然后绘制轮廓图：

sigma <- seq(0.5,4, length=501)
mu <- seq(0,3, length=501)

z <- matrix( nrow=length(mu), ncol=length(sigma))
for(i in 1:length(mu))
  for(j in 1:length(sigma))
    z[i,j] <- L(mu[i], sigma[j], difference)

# shorter version
# z <- outer(mu, sigma, Vectorize(function(a,b) L(a,b,difference)))

contour(mu, sigma, z, levels=c(1e-10,1e-6,2e-5,1e-4,2e-4,4e-4,6e-4,8e-4,1e-3,1.2e-3,1.4e-3))

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

hats2mu <- sapply(mu, function(mu0) mean( (difference-mu0)**2 ))
lines(mu, hats2mu, col="red", lwd=2)

轮廓似然的值是沿着红色抛物线的似然所取的值。

$\hat\mu$

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

例如，您还可以使用概貌似然来构建分数测试。

在一般框架中，轮廓似然区间为近似置信区间。该结果的证明与证明似然比统计量（渐近）近似分布为$\chi^2_k$

$0.147$$95\%$

这些是经典结果，因此我将对此提供一些参考：

http://www.jstor.org/stable/2347496

http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0132

http://www.unc.edu/courses/2010fall/ecol/563/001/docs/lectures/lecture11.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood-ratio_test

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Profile_likelihood

下面的R代码显示，即使对于较小的样本，两种方法所获得的间隔也是相似的（我将重用Elvis示例）：

请注意，您必须使用归一化的轮廓似然。

data(sleep)
x <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(0,3, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(0.5,1.5))$root,uniroot(Rpt,c(1.51,3))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

如果我们使用更大的样本量，则置信区间会更接近：

set.seed(123)
x <- rnorm(100)
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(-0.5,0.5, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(-0.4,0))$root,uniroot(Rpt,c(0,0.4))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

重要要点：

请注意，对于特定样本，不同种类的置信区间的长度或位置可能有所不同，真正重要的是其覆盖范围。从长远来看，所有样本都应提供相同的覆盖范围，而与特定样本的样本相差多少无关。

我不会给出过多的数学答案，但我想解决您关于CI与轮廓似然区间之间关系的核心问题。正如其他受访者指出的那样，可以通过使用$\chi^2$$normalized$

1. 轮廓对数似然近似为二次方
2. 存在一个参数转换，使轮廓对数似然近似为平方。

二次项很重要，因为它定义了对数刻度的正态分布。二次方越多，则近似值和所得CI越好。您为似然区间选择的1/20截止值等于渐近极限大于95％CI，这就是为什么蓝色区间通常比红色区间更长的原因。

现在，还有另一个可能引起关注的问题。如果要分析的变量很多，则如果每个维的数据点数量很少，则轮廓可能性可能会非常偏颇和乐观。然后使用边际，条件和修正的轮廓似然来减少这种偏差。

因此，您的问题的答案是“是”。联系是大多数最大似然估计量的渐近正态性，如似然比的卡方分布所示。