逻辑回归和拐点

我们有带有二进制结果和一些协变量的数据。我使用逻辑回归对数据进行建模。只是简单的分析，没什么特别的。最终输出应该是剂量响应曲线，在该曲线中，我们显示了特定协变量的概率如何变化。像这样：

我们从内部审核员（不是纯粹的统计学家）那里收到一些批评，选择逻辑回归。逻辑回归假设（或定义）S形曲线在概率标度上的拐点处于概率0.5。他认为，没有理由假定拐点确实在0.5的概率上，我们应该选择一个不同的回归模型，该模型允许拐点发生变化，以使实际位置受数据驱动。

起初我因为他的论点而措手不及，因为我从未考虑过这一点。我没有任何论点说明为什么将拐点设为0.5是合理的。经过研究后，我仍然没有这个问题的答案。

我遇到了5参数逻辑回归，其中拐点是一个附加参数，但似乎在产生具有连续结果的剂量反应曲线时通常使用此回归模型。我不确定是否以及如何将其扩展为二进制响应变量。

我想我的主要问题是为什么或何时可以确定逻辑回归的拐点为0.5？有关系吗 我从未见过有人适合逻辑回归模型并明确讨论拐点问题。是否有其他方法可以创建拐点不一定为0.5的剂量反应曲线？

为了完整起见，用于生成上面图片的R代码：

dat <- read.csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv")
dat$rank <- factor(dat$rank)
logit <- glm(admit ~ gre + gpa + rank, family = binomial(link = "logit"), data = dat)
newdata <- data.frame(gre = seq(-2000,8000,1), gpa = 2.5, rank = factor(1,c(1,2,3,4)))
pp <- predict(logit, newdata, type = "response", se.fit = TRUE)
plot(newdata$gre, pp$fit, type="l", col="black", lwd=2,ylab="Probability", xlab="Dose")

编辑1：

只是补充了Scortchi在其中一项评论中所说的内容：审稿人确实确实认为，从生物学上讲，曲率变化发生的可能性可能早于0.5。因此，他抵抗假设拐点为0.5。

编辑2：

作为对弗兰克·哈雷尔（Frank Harrell）评论的回应：

例如，我修改了上面的模型以在gre其中包含一个二次项和一个三次项（在此示例中为“剂量”）。

logit <- glm(admit ~ gre+I(gre^2)+I(gre^3)+  gpa + rank, family = binomial(link = "logit"), data = dat)
newdata <- data.frame(admit=1, gre = seq(-2000,8000,1), gpa = 2.5, rank = factor(1,c(1,2,3,4)))
pp <- predict(logit, newdata, type = "response", se.fit = TRUE)
plot(newdata$gre, pp$fit, type="l", col="black", lwd=2,xlim=c(-2000,4000),ylab="Probability", xlab="Dose")

尽管gre在这种情况下添加二次项和三次项可能没有意义，但我们看到剂量响应曲线的形式已经改变。实际上，我们现在在0.25和0.7附近有两个拐点。

正如@scortchi所提到的那样，审阅者的错误印象是，在逻辑回归的背景下，无法对预测变量对logit规模的非线性影响进行建模。原始模型很快就假定了所有预测变量的线性。通过放宽线性假设，例如使用受限的三次样条曲线（自然样条曲线），曲线的整个形状将变得灵活，并且拐点不再是问题。如果只有一个预测变量，并且使用回归样条对其进行扩展，则可以说逻辑模型仅假设观测值的平滑性和独立性。

在我看来，审阅者只是在寻找要说的东西。在检查规范的诸如隐含拐点之类的特征之前，我们已经做出了大量假设，以便得出可估计的模型。所有人都可能受到质疑和辩论-使用逻辑函数本身是可能的主要目标：谁告诉我们底层错误项的条件分布是逻辑的？没有人。

因此，问题在于：曲率变化意味着什么？对于正在研究的现实世界现象，曲率变化发生的时间可能有多重要，因此我们可以考虑使其成为“数据驱动”的？进一步远离简约原则？

问题不是“为什么拐点应该在0.5？” 但是“如果将其保留为0.5，可能会对我们的结论产生误导？”。

在mho中，logit回归是剂量反应的合理选择。当然，您可以使用probit，log-log，c-log-log链接，并比较拟合优度（DEV，BIC，CAIC等）。但是，最简单的logit回归可以轻松地正式评估拐点LD50 = -b0 / b1。我们记得这是一个特定的点，为此我们获得了最小的不确定性（请参阅LD16，LD84，其他任何一个都将具有更大的CI，请参阅Finney的“ Probit analysis”，1947年，1977年）。总是（？）最好使用剂量的对数，然后只转换原始比例的95％CI。模型中其他协变量的性质是什么？我暗示使用多模型方法的可能性...当然，样条线是灵活的，但是形式参数很容易解释！

参见http://www.epa.gov/ncea/bmds/bmds_training/software/overp.htm

0.5拐点只是一个较大问题的一小部分：逻辑方程是对称构造的。并且在大多数派生中，建模效果都有一个对称的理由。例如，当一个玩家获胜而另一个玩家失败时，或者造成饱和的效应与造成初始增长的物理效应相同，等等。因此，如果有一个原因，那么低X行为的起源就是相同的起源由于行为举止敏捷或出于其他任何原因，问题是对称的，那么您就有理由了。

如果不是，那么下一个最简单的模型就是广义逻辑方程。它具有更多参数，您可能需要添加约束，因此它们并非全部都是自由参数。这可能比您添加的kudges更合乎需要，因为那些添加的kkudges会增加一阶导数来回振荡的架子-如果您尝试优化此值的期望值，则这种情况往往会产生虚构的局部均衡虚假点分配。广义形式将打破对称性，但以一种平滑的方式。