T分布随机变量平方和的分布

我正在查看T分布随机变量平方和的分布，其尾指数为。其中X是RV，傅立叶变换为，给我的卷积之前为方形的溶液。 $\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

在，解决方案是可行的，但笨拙且不可能对傅立叶逆。因此，问题是：是否已对样本分布或T分布随机变量的标准偏差的分布进行了研究？（对于学生来说，卡方对高斯就是什么）。谢谢。$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

（可能的解决方案）我发现是Fisher分布的，因此将查看Fisher分布变量的总和。$X^2$$F(1,\alpha)$

（可能的解决方案）根据特征函数，当求和的的平均值 存在分布时，它们的前两个矩相同。因此，利用u的平方根并在概率分布内进行变量的变化，可以用以下近似估计n个样本T变量的标准偏差的密度： $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

澄清您的问题（在我看来，这是两个相关但不同的部分）：您正在寻找（1）独立的平方随机变量之和的分布，以及（2）抽样从分布中抽取的随机样本的方差（或相关标准偏差）的分布（大概是您询问（1）的原因）。吨α吨$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

独立平方变量之和的分布$t_{\alpha }$

如果是具有 df的（独立）随机变量，则（是您似乎在第二个“可能的解决方案”中声称的内容。通过考虑每个时刻的第一个瞬间即可轻松验证这一点（后者的第一个瞬间是第一个瞬间的倍）。 $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

您的第一个“可能解决方案”中的要求是正确的：。我认为，当考虑将分布的特征描述为比率其中是标准正态变量）时，该结果比使用特征函数要透明得多和是具有卡方可变自由度，独立的。然后，该比率的平方就是两个独立的卡方变量的比率，这些变量按其各自的自由度进行缩放，即，$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$，这是分布的标准表征（分子df等于1，分母df等于）。$F(1,\alpha)$$\alpha$

考虑到我在上面第一段中的第一刻所做的注释，似乎更好的说法可能是 [通过对分布使用相同的表达式以及具有该分布的随机变量，在这里略微滥用了符号。] 当第一时刻匹配时，第二中心时刻却不匹配（对于，第一个表达式的方差小于后一个表达式的方差），因此该声明也是错误的。[话虽这么说，有趣的是，这是我们求和平方（标准）时的结果正常变量。]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

从分布采样时方差的采样分布$t_{\alpha }$

考虑到我上面写的内容，您为“ n个样本T变量的标准偏差的密度”获得的表达式是错误的。但是，即使是正确的分布，标准偏差也不只是平方和的平方根（因为您似乎曾经习惯于得出密度）。相反，您将寻找的（缩放）采样分布。。在正常情况下，此表达式的LHS可以重写为平方正态变量的总和（平方内的项可以重写为正态变量的线性组合，再次以正态分布），从而导致熟悉的$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$分布。不幸的是，变量（即使具有相同的自由度）的线性组合没有像那样分布，因此无法利用类似的方法。$t$$t$

也许您应该重新考虑您想要展示的内容？例如，可以使用某些模拟来达到目标​​。但是，您确实以表示了一个示例，在这种情况下，只有的一阶矩是有限的，因此模拟对此类矩计算无济于事。 $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

您可能需要查看Hotelling的T分布（http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution）。是（http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties）之间存在关系，但是我不确定这正是您所要的。 $T^2$$F$