如果exp（X）〜Gamma如何快速采样X？

我有一个简单的采样问题，我的内循环看起来像：

v = sample_gamma(k, a)

其中sample_gamma从Gamma分布样品以形成样品狄利克雷。

它运行良好，但对于某些k / a值，一些下游计算会出现下溢。

我将其修改为使用日志空间变量：

v = log(sample_gamma(k, a))

在修改了该程序的所有其余部分之后，它可以正常工作（至少在测试案例中它给我的结果是相同的）。但是，它比以前慢。

有没有一种方法可以直接对进行采样而无需使用这样的慢函数？我为此进行了谷歌搜索，但是我什至不知道此发行版是否具有通用名称（log-gamma？）。对数（$X, \exp(X) \sim \text{Gamma}$$\log()$

考虑一个接近0 的小形状参数，例如。在0到之间的范围内，大约为，因此Gamma pdf大约为。这可以集成到近似CDF中，。取反，我们看到一个幂：一个巨大的指数。对于这会引起下溢的可能性（双精度值小于或等于）。这是下溢的概率图，是底数的十进制对数的函数α = 1 / 100 α ë - α 1 X α - 1 d X / Γ （α ）˚F α（X ）= X $\alpha$$\alpha = 1/100$$\alpha$$e^{-\alpha}$$1$$x^{\alpha-1}dx / \Gamma(\alpha)$ 1/αα=1/10010-300$F_\alpha(x) = \frac{x^\alpha}{\alpha \Gamma(\alpha)}$$1/\alpha$$\alpha = 1/100$$10^{-300}$$\alpha$：

一种解决方案是利用这种近似来生成log（Gamma）变量：实际上，尝试生成Gamma变量，如果它太小，则根据此近似功率分布生成其对数（如下所示）。（重复执行此操作，直到对数在下溢范围内，以便它可以有效替代原始下溢变量。）对于Dirichlet计算，请从每个对数值中减去所有对数的最大值：这将隐式重新缩放所有比例Gamma变量，因此不会影响Dirichlet值。将所得的任何太小（例如小于-100）的对数视为真实零的对数。对其他日志求幂。现在，您可以继续进行而不会发生下溢。

这将花费比以前更长的时间，但至少它会起作用！

要生成形状参数为的近似对数伽玛变量，请预先计算。这很容易，因为有一些算法可以直接计算log Gamma的值。生成0和1之间的均匀随机浮子，取其对数，除以，并添加到它。Ç = 日志（Γ （α ））+ 日志（α ）$\alpha$$C = \log(\Gamma(\alpha)) + \log(\alpha)$$\alpha$$C$

因为scale参数只是重新缩放变量，所以在这些过程中将其容纳起来没有问题。如果所有比例参数都相同，则甚至不需要它。

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OP在另一个答复中描述了一种方法，其中将统一变量（变量）的幂乘以变量。这是可行的，因为这两个变量的联合分布的pdf等于。为了找到的pdf，我们将，除以雅可比，然后积分出。积分的范围必须从到因为，因此$1/\alpha$$B(\alpha)$$\Gamma(\alpha+1)$$\left(\alpha x^{\alpha-1}\right) \left(y^{\alpha}e^{-y}dy/\Gamma(\alpha+1)\right)$$z = xy$$y \to z/x$$x$$x$$z$$\infty$$0 \le y \le 1$

这是分布的pdf 。$\Gamma(\alpha)$

整点是，当，从得出的值不太可能下溢，并且通过将其对数和乘以独立均变量的对数来求和，将具有变量的对数。该对数可能非常负，但是我们将绕过其对数的构造，该对数将以浮点表示形式下溢。$0 \lt \alpha \lt 1$$\Gamma(\alpha+1)$$1/\alpha$$\Gamma(\alpha)$

我正在回答自己的问题，但是即使我不完全了解，我还是找到了一个很好的解决方案。看着从GNU科学图书馆代码，这里是它的样本伽马变量是如何（r是随机数发生器，a是和为）：$\alpha$b$\beta$

  if (a < 1)
    {
      double u = gsl_rng_uniform_pos (r);
      return gsl_ran_gamma (r, 1.0 + a, b) * pow (u, 1.0 / a);
   }

gsl_ran_gamma是返回伽马随机样品（因此上述是一个递归调用）的函数，而gsl_rng_uniform_pos返回以均匀分布的数（该为，因为它是保证不返回0.0严格为正）。$(0,1)$_pos

因此，我可以获取最后一个表达式的日志并使用

return log(gsl_ran_gamma(r, 1.0 + a, b)) + log(u)/a;

得到我想要的。我现在有两个log()电话（但少一个pow()），但结果可能更好。正如胡布尔指出的那样，以前我曾提出过的幂，可能是一个很大的数目。现在，在logspace中，我乘以。因此，它不太可能发生下溢。1 /$1/a$$1/a$