如何显示均值的Poisson分布不存在无偏估计量？

假设是iid随机变量，它们遵循均值的泊松分布。如何证明没有数量的无偏估计量？ $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ $\lambda$ $\dfrac{1}{\lambda}$

— billlee1231
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我想你的意思是“ lambda”？无论如何，这不适用于MO。

这是某些科目吗？它看起来像是相当标准的教科书练习。请检查self-study标记及其标记Wiki信息，然后添加标记（或给出一些指示，说明还会出现此问题）。请注意，这些问题虽然很受欢迎，但对您有一些要求（以及对我们的限制）。你尝试了什么？

— Glen_b-恢复莫妮卡

您应该能够使用与此处类似的参数。

— Glen_b-恢复莫妮卡

假设是的无偏估计量，即然后乘以并调用MacLaurin系列的我们可以将等式写为 $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (x_{0}, \dots, x_{n}) \frac{λ^{\sum_{i = 0}^{n} x_{i}}}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, \dots, x_{n})}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} λ^{1 + \sum_{i = 0}^{n} x_{i}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + \dots, \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$ 在这里，我们有两个相等的幂级数相等，其中一个具有常数项（右边），另一个没有常数：矛盾。因此，不存在无偏估计量。

— 维塔
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