两个随机变量中较小者的无偏估计量

13

假设和 $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

我对。是否存在的无偏估计量？ $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

的简单估计量有偏差（尽管一致）， $\min(\bar{x}, \bar{y})$ 其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 是 $X$ 和样本均值 $Y$ 。它倾向于下冲 $z$ 。

我想不出的无偏估计量 $z$ 。是否存在？

谢谢你的帮助。

random-variable unbiased-estimator minimum

— 帕赞
source

8

这只是几条评论，而不是答案（没有足够的代表点）。

（1）。这里有一个简单的估算器的偏差的明确公式： $min(\bar{x},\bar{y})$

克拉克（CE）1961年3月-4月。有限的一组随机变量中的最大者。运筹学9（2）：145–162。

不确定这有什么帮助

（2）。这只是直觉，但我认为不存在这样的估计量。如果存在这样的估计量，则当时，它也应该是无偏的。因此，使得估计量小于两个样本均值的加权平均值的任何“降级”都会使这种情况下的估计量有偏差。 $\mu_x=\mu_y=\mu$

— 或祖克
source

1

可以想象，在这种情况下，任何校正最终的均值都为零。

— 主教

不过，只是为了澄清一下，我并不是说我相信有一个公正的估计量。实际上，我同意可能没有。

— 主教

1

是的，同意-这只是直觉。以下论文给出了单变量高斯均值函数的无偏估计量的存在条件-可以扩展为多元变量： stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— 或Zuk

知道偏差会有所帮助，您可以对其进行校正以获得一个无偏估计量。我实际上是沿着这条路线走的，但是要计算确切的偏差就需要您拥有和，而我们没有。因此，自然而然地，我尝试使用样本均值来查看发生了什么。它似乎没有帮助。在仿真中，校正后的估算器也表现出偏差。我倾向于不存在的无偏估计量，但是我没有为此提供一个很好的证明。

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam 2011年

5

没错，没有偏估计是正确的。问题在于，由于处的不可微性，因此感兴趣的参数不是基础数据分布的平滑函数。 $\mu_x=\mu_y$

证明如下。令为无偏估计量。然后。相对于和（在整数符号下有所区别），左侧在任何地方都是可。但是，右手边，这导致了矛盾。 $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$

平野和波特在即将发表的《计量经济学》论文中有一个一般性的证明（请参见他们的命题1）。这是工作文件版本：

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— 用户名
source

非常好！感谢您跟进此问题。

— Whuber

1

对于给定样本的一组数字中的最小值（或最大值），有一个估计量。参见Laurens de Haan，“使用阶次统计量估算函数的最小值”，JASM，76（374），1981年6月，第467-469页。

— 扬·加尔科夫斯基
source

不幸的是，我认为您引用的论文没有解决这个问题。本文讨论了当您具有一组非随机变量A时，如何通过采样找到A中最小的元素。在此问题的上下文中，A中的每个元素都是随机变量，并且位于其中。你必须找到平均在A.最小的随机变量的无偏估计

— pazam

0

我将相当确定不存在无偏估计量。但是大多数情况下并不存在无偏估计量，并且无偏不是一开始就不是特别理想的属性。你为什么要在这里？

样本价格昂贵，因此在偏差消失之前我不能随便增加样本量。期望无偏，因为我在线性回归中将估计器的结果用作具有偏差意味着将包含非正常干扰，这等同于规格误差，并导致混乱。我将无法精确地估计坡度，方差，构建置信区间等。

Y

$Y$

Y

$Y$

— pazam