如何在3维单位球中生成均匀分布的点？

我已经发布了一个先前的问题，这是相关的，但是我认为最好启动另一个线程。这次，我想知道如何在3-d单位球体内生成均匀分布的点，以及如何从视觉和统计角度检查分布？我看不到那里发布的策略可以直接转移到这种情况。

random-generation

— 李强
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一旦您观察到原点距离

内的点数必须与

成比例，就可以直接应用上一个问题中的技术。因此，如果你产生一个独立的均匀变量

在

用点沿着

的球体的表面上，缩放

通过

的伎俩。

r

$r$

r^{3}

$r^3$

u

$u$

[0, 1]

$[0,1]$

w

$w$

w

$w$

u^{1 / 3}

$u^{1/3}$

— ub

@whuber：也许我只是没有了解先前技术的精髓。让我尝试您的描述。另外，这里有什么方法可以再次检查均匀性？

— 李强

@Qiang Ripley的K函数和卡方检验。您还可以检查点在球体表面上的径向投影的均匀性，这些点的长度的立方的均匀性以及这两个点的独立性。

— ub

对我而言，“均匀分布”的含义不是那么明显……可能尝试对其进行定义将自动创建生成算法（=

@mbq，我认为定义的术语，我们需要有一个pdf

。

f_{R, Θ, Φ} (r, θ, ϕ) = r^{2}

$f_{R, \Theta, \Phi}(r,\theta, \phi)=r^2$

— 李强

Answers:

最简单的方法是在相应的超立方体中均匀地采样点，并丢弃不在球体内的点。在3D中，这种情况不应频繁发生，大约有50％的时间。（超立方体的体积为1，球体的体积为）。 $\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

— 拜耳
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+1。这是comp.graphics.algorithms常见问题解答“球面上的均匀随机点”

— 大卫·卡里

如果我们想在

怎么办？

n > 100

$n > 100$

— 战神

这称为“拒绝方法”。虽然在三个维度上都能很好地工作，但在27个维度上，只有27个球中的一个万亿分之一位于27球中，而不是在其余的27个立方体中，因此拒绝方法不能很好地推广。我之所以这样说是因为我目前需要均匀地将样品以2440个尺寸的球封装。

— Reb.Cabin '19

您也可以在球坐标系中执行此操作，在这种情况下不会出现拒绝。首先，生成半径和随机的两个角度，然后使用过渡公式来恢复，和（，，）。 $x$ $y$ $z$ $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$

您生成 unifomly之间和。但是，半径和倾斜角并不均匀。的概率的点为半径的球内是这样的概率密度函数是。您可以轻松地检查均匀变量的立方根是否具有完全相同的分布，因此这就是生成。的概率，通过倾斜所定义的球状的圆锥内的点位于是 $\phi$ $0$ $2\pi$ $r$ $\theta$ $r$ $r^3$ $r$ $3 r^2$ $r$ $\theta$ 或，如果。因此，密度是。您可以检查减去统一变量的反余弦是否具有正确的密度。 $(1-\cos\theta)/2$ $1 - (1-\cos (-\theta))/2$ $\theta > \pi/2$ $\theta$ $sin(\theta)/2$

或者更简单地说，我们可以均匀地模拟的余弦在和。 $\theta$ $-1$ $1$

在R中，如下所示。

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

在编写和编辑此答案的过程中，我意识到该解决方案比我想象的要简单。

我认为，最简单，最计算有效的方法是遵循@ whuber的方法来生成单位球上所显示这篇文章，并与它们进行缩放。 $(x,y,z)$ $r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

— gui11aume
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由于没有拒绝，这是一个更好的答案。在高维空间中，由于接受概率低，拒绝采样的成本可能很高。

— Kingledion'2

例如，代码的最后一位可以适应更高的维度d。为此，替换的所有实例3的d。

— gui11aume17年

在我看来，最简单的选择也可以推广到高维球上（这不是球形坐标的情况，甚至拒绝采样的情况更是如此）是生成随机点，它是两个随机变量乘积。其中是高斯随机变量（即各向同性的，即指示在任何方向上均匀地）归一化，使得其位于球体和这是一个统一的随机变量的功率 $P$ $P = N/||N|| * U^{1/n}$ $N$ $U$ $[0,1]$ ，是数据的维数，注意半径。 $1/n$ $n$

等等！

— 让·卢克·布绍特
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均匀分布的半径不会在球中给出均匀的点...

— kjetil b halvorsen

真正。您需要稍微调整

变量的分布，以考虑到较低/较高密度的区域。

U

$U$

— Jean-Luc Bouchot，