为什么方差上的被认为是弱的？

背景

最常用的方差弱先验之一是反伽玛，其参数（Gelman 2006）。$\alpha =0.001, \beta=0.001$

但是，此分布的90％CI约为。$[3\times10^{19},\infty]$

library(pscl)
sapply(c(0.05, 0.95), function(x) qigamma(x, 0.001, 0.001))

[1] 3.362941e+19          Inf

据此，我认为给出方差非常高的可能性很小，而方差小于1可能性很低。$IG(0.001, 0.001)$$P(\sigma<1|\alpha=0.001, \beta=0.001)=0.006$

pigamma(1, 0.001, 0.001)
[1] 0.006312353

题

我是否缺少某些东西，或者这实际上是一个有用的信息？

更新以澄清，我之所以考虑这个“信息性”，是因为它非常强烈地声称方差巨大，并且远远超出了曾经测量的几乎任何方差的范围。

后续的大量方差估计的荟萃分析是否可以提供更合理的先验？

参考

Gelman2006。层次模型中方差参数的先验分布。贝叶斯分析1（3）：515–533

使用逆伽玛分布，我们得到：

您可以轻松地看到，如果和则反伽马将先接近Jeffreys。这种分布称为“非信息性”，因为它是对杰弗里斯先验的适当近似α →交通$\beta \rightarrow 0$$\alpha \rightarrow 0$

例如，这对于比例参数是无意义的，请参见第18页，因为该先验是唯一在比例变化下保持不变的参数（请注意，近似值是不变的）。它具有的不确定整数，表明的范围包含或不合适。但是这些情况只是数学上的问题，而不是现实世界中的问题。切勿实际观察方差的无穷大，如果观察到的方差为零，则您将获得完美的数据！因为您可以设置等于下限和等于上限，所以您的分配是正确的。σ 2 0 ∞ 大号> 0 û < $\log(\sigma^2)$$\sigma^2$$0$$\infty$$L>0$$U<\infty$

虽然这看起来“奇怪”，因为它偏爱小方差而不是大方差，但这似乎只是一个尺度。您可以证明的分布不正确。因此，此先验并不偏向于任何一个规模$\log(\sigma^2)$

尽管与您的问题没有直接关系，但我建议通过选择Jeffreys之前的上限和下限和U而不是α和β来 “更好地”分配非信息性。通常情况下，限制可以很容易用一点心思的东西设定σ 2，其实就是在现实世界中。如果是某种物理量的误差-L不能小于原子的大小，或者不能小于实验中可以观察到的最小大小。进一步的$L$$U$$\alpha$$\beta$$\sigma^2$$L$$U$不能大于地球（如果想真正保守，也不能大于太阳）。这样你让你的不变性性质，并且其更容易之前从样品：取，然后将该模拟值作为σ 2 （b ） = exp （q （b ））。$q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$$\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$

非常接近公寓。其中位数为1.9 E298，几乎是双精度浮点运算中可以表示的最大数字。正如您所指出的，它分配给不是很大的任何时间间隔的概率非常小。很难获得比这少的信息！