在Dirichlet分布中将单纯形表示为三角形曲面的含义？

我正在读一本介绍Dirchilet分布的书，然后提供有关它的图。但是我真的不能理解那些数字。我将图附加在底部。我不理解的是三角形的含义。

通常，当要绘制一个包含2个变量的函数时，可以使用var1和va2的值，然后绘制这两个变量的函数值的值...这可以在3D维度中显示。但是这里有3个维度，而函数值有一个其他值，因此可以在4D空间中进行可视化。我不明白这些数字！

希望有人可以澄清一下！

编辑：这是我从图2.14a中无法理解的内容。因此，我们从K = 3 dirichlet中提取了一个样本theta（基本上是一个向量），即：theta = [theta1，theta2，theta3]。三角形绘图[theta1，theta2，theta3]。从原点到每个theta_i的距离是theta_i的值。然后为每个theta_i放置一个顶点，并将所有三个顶点连接起来，并制成一个三角形。我知道，如果将[theta1，theta2，theta3]插入dir（theta | a），我将得到一个数，即向量theta的联合概率。我也理解连续随机变量的概率是对面积的度量。但是这里我们有3个维度，因此联合概率将是粉红色平面及其下方（即金字塔）的空间量的度量。现在我不明白三角形在这里的作用。

我不明白三角形在这里的作用。它试图传达或可视化什么？

三角形中的所有点都必须满足两个约束：每个维度在零到一之间（），所有总和等于1（）。$0 \leq \theta \leq 1$$\theta_0 + \theta_1 + \theta_2 = 1$

我最终了解的方式如下：

因此（a）显示了一个以为坐标的3-D空间。它们的范围仅在0到1之间。$\theta_{1, 2, 3}$

在（b）中，显示了一个三角形，这是我们的单纯形。

（c）展示了“放置”在单纯形上的两个示例点，它们也满足第二个条件（总和为1）。

（d）显示了单纯形上的另一个示例点，保持相同的约束

在（e）中，我试图显示之前显示的所有示例点的单纯形到二维三角形的投影。

希望现在更有意义:)

图2.14（a）显示了在每个轴上由三个顶点组成的平面。顶点到原点的距离为，对应于类之一。由粉红色平面和轴平面包围的区域是（矢量）概率$\theta_i$$k=3$$\theta$。现在，假设您倾斜该平面，以使金字塔的粉红色平面（最靠近阅读器的一面）平放在页面上。然后，抑制页面的第三维“弹出”，而是为三角形着色，以便从底到表面的距离较长的较高密度区域更加红色。这就是图2.14（b）和2.14（c）所显示的。红色越集中在顶点附近，则与该顶点关联的类越可能。同样，如果红色区域不是非常靠近任何顶点，则事件不太可能具有较高的隶属度。

但是，此金字塔仅作为Dirichlet分布的单个实现才有意义。从同一分布中再次绘制可能会产生一个不同的金字塔，每个顶点的长度都不同。（a）和（b）/（c）之间的主要区别在于（a）以图形方式显示矢量绘制一次的概率。图（b）和（c）示出对值的概率密度在单纯形，即，他们正在尝试呈现的概率密度函数为所有值$\theta$$\theta$$\theta$$k=3$$\theta$在支持中。考虑（b）和（c）的一种方法是根据平坦的粉红色平面和金字塔表面之间的平均高度将点附加红色，该平均高度是根据多次绘制的。$\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$