解释LLE（局部线性嵌入）算法的步骤？

我了解LLE算法背后的基本原理包括三个步骤。

1. 通过某种度量（例如k-nn）找到每个数据点的邻域。
2. 找到每个邻居的权重，这些权重表示邻居对数据点的影响。
3. 根据计算出的权重构造数据的低维嵌入。

但是，在我阅读的所有课本和在线资源中，步骤2和步骤3的数学解释令人困惑。我无法解释为什么使用这些公式。

在实践中如何执行这些步骤？有没有任何直观的方式来解释所使用的数学公式？

参考：http : //www.cs.nyu.edu/~roweis/lle/publications.html

局部线性嵌入（LLE）消除了估计远处对象之间距离的需要，并通过局部线性拟合恢复了全局非线性结构。LLE是有利的，因为它不涉及诸如学习率或收敛标准之类的参数。LLE还可以通过的固有维数很好地缩放。LLE的目标函数为 权重矩阵元件为对象和被如果设置为零$\mathbf{Y}$

$$\begin{equation} \zeta(\mathbf{Y})=(\mathbf{Y}- \mathbf{WY})^2\\ \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad = \mathbf{Y}^\top (\mathbf{I}-\mathbf{W})^\top (\mathbf{I}-\mathbf{W})\mathbf{Y} \end{equation}$$ $\mathbf{W}$$w_{ij}$$i$$j$$j$不是的最近邻居，否则，对象的K个最近邻居的权重通过 ，其中因变量是对象的向量，是对象所有最近邻居的 Gram矩阵，而是一个权重的向量，遵循总和约束。令为对称正半定$i$$i$ $$\begin{equation} \mathbf{U}=\mathbf{G}\boldsymbol{\beta} \end{equation}$$ $\mathbf{U}$$K \times 1$$\mathbf{G}$$K \times K$$i$$\boldsymbol{\beta}$$K \times 1$$\mathbf{D}$$K \times K$维对象所有K个最近邻的距离矩阵。可以证明等于元素为 的双中心距离矩阵 的回归系数被确定数值使用 $p$$\mathbf{x}_i$$\mathbf{G}$$\boldsymbol{\tau}$ $$\begin{equation} \tau_{lm}=-\frac{1}{2} \left( d_{lm}^2 - \frac{1}{K}\sum_l d_{lm}^2 - \frac{1}{K}\sum_m d_{lm}^2 + \sum_l\sum_m d_{lm}^2 \right). \end{equation}$$ $K$ $$\begin{equation} \underset{K \times 1}{\boldsymbol{\beta}}=\underset{K \times K}{(\boldsymbol{\tau}^\top \boldsymbol{\tau})}^{-1}\underset{K \times 1}{\boldsymbol{\tau}^\top\mathbf{U}}, \end{equation}$$ 并检查以确认它们合计为一。的值被嵌入到行的在对应于对象物的K最近邻的各列的位置，以及转置的元素。对数据集中的每个第个对象重复此操作。需要注意的是，如果最近的邻居数量太少，则可能会稀疏，从而导致本征分析变得困难。据观察，最近邻居导致$\boldsymbol{\beta}$$i$$\mathbf{W}$$i$$i$$K$$\mathbf{W}$$K=9$$\mathbf{W}$特征分析过程中不包含病理的矩阵。通过找到的最小非零特征值来最小化目标函数 的还原形式由下式表示其中具有的尺寸基于的两个最低特征值。 $$\begin{equation} (\mathbf{I}-\mathbf{W})^\top(\mathbf{I}-\mathbf{W})\mathbf{E}=\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{D}\mathbf{E}. \end{equation}$$ $\mathbf{X}$$\mathbf{Y}=\mathbf{E}$$\mathbf{E}$$n \times 2$$\boldsymbol{\Lambda}$