对于已知的平均绝对偏差，哪种分布具有最大熵？

我正在阅读Hacker News上有关标准偏差而不是平均绝对偏差等其他指标的使用的讨论。那么，如果我们遵循最大熵的原理，如果仅知道分布的均值和平均绝对偏差，我们将使用哪种分布？

还是使用中位数和与中位数的平均绝对偏差更有意义？

我发现Grechuk，Molyboha和Zabarankin撰写了一篇论文《具有最大偏差量度的最大熵原理》，该文章似乎掌握了我所好奇的信息，但是花了我一段时间才能对其进行解密。

这些明智的先生们， Kotz，S.，Kozubowski，TJ，和Podgorski，K.（2001）。拉普拉斯分布与归纳：对通讯，经济学，工程学和金融学的应用的重新审视（第183号）。施普林格。

通过练习来挑战我们：

$f(x)$$g(x)$

$$E_g(|X-c_1|)=\int g(x)|x-c_1|dx=c_2 =\int f(x)|x-c_1|dx =E_f(|X-c_1|)\qquad [1]$$

$$0\le D_{KL}(g||f) = \int g(x)\ln\left(\frac {g(x)}{f(x)}\right)dx = \int g(x)\ln g(x)dx -\int g(x)\ln f(x)dx \qquad [2]$$

$g$$-h(g)$

$$\int g(x)\ln[f(x)]dx = \int g(x)\ln\left[\frac{1}{2c_2}\exp\left\{-\frac 1{c_2} |x-c_1|\right\}\right]dx$$ $$=\ln\left[\frac{1}{2c_2}\right]\int g(x)dx- \frac 1{c_2}\int g(x)|x-c_1|dx$$ $[1]$

$$\int g(x)\ln[f(x)]dx = -\ln\left[2c_2\right] - \frac 1{c_2}\int f(x)|x-c_1|dx = -(\ln\left[2c_2\right] +1)$$ $-h(f)$

$[2]$

$$0\le D(g||f) = -h(g) - (-h(f)) \Rightarrow h(g) \le h(f)$$ $g$