二项式估计为0或1的置信区间

如果您估计（或类似地）并且样本量相对较小（例如），那么计算二项式实验的置信区间的最佳技术是什么？ $p=0$ $p=1$ $n=25$

confidence-interval binomial

— 卡斯珀
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有多接近零？它是否经常为零，或大约为0.001、0.01或...？您有多少数据？

\hat{p}

$\hat{p}$

— jbowman

我们通常有800多个试验。我们通常期望为0到0.1

\hat{p}

$\hat{p}$

— AI2.0

使用链接的Clopper–Pearson间隔。一般原则：首先尝试使用Clopper–Pearson间隔。如果计算机无法获得答案，请尝试近似法，例如常规近似法。根据当前的计算机速度，我认为在大多数情况下我们不需要近似。

— user158565 '18

为了仅使用（1-置信水平）获得置信区间的上限，我们将仅使用B（1- ; x + 1，n−x），其中x是成功（或失败）的次数， n为样本大小在Python中，我们只使用。如果这是真的，我们可以得出结论，我们是1-。 \相信，上限是由我们从计算值限定？

α

$\alpha$

α

$\alpha$ scipy.stats.beta.ppf(1−$\alpha$;x+1,n−x)

α

$\alpha$ scipy.stats.beta.ppf(1−$\alpha$;x+1,n−x)

— AI2.0

在进行800次试验后，通常的法线近似值将在大约范围内正常工作（我的模拟显示95％置信区间的94.5％实际覆盖率。）在1000次试验和，实际覆盖率约为92.7％。（全部基于100,000个重复。）因此，考虑到您的试用次数，这仅是对于非常低的的问题。

p = 0.015

$p=0.015$

p = 0.01

$p=0.01$

p

$p$

— jbowman

Answers:

不要使用正态近似

有关此问题的文章很多。一般建议不要使用正态逼近（即渐近/瓦尔德置信区间），因为它具有可怕的覆盖范围。R代码说明了这一点：

library(binom)
p = seq(0,1,.001)
coverage = binom.coverage(p, 25, method="asymptotic")$coverage
plot(p, coverage, type="l")
binom.confint(0,25)
abline(h=.95, col="red")

二项式比例的渐近置信区间的覆盖概率。

对于较小的成功机率，您可能会要求95％的置信区间，但实际上却获得10％的置信区间！

计算间隔

要计算这些置信区间，您可以使用此在线计算器或R binom.confint()中binom软件包中的函数。例如，如果25次试验中成功0次，则R代码为：

> binom.confint(0, 25, method=c("wilson", "bayes", "agresti-coull"),
  type="central")
         method x  n  mean  lower upper
1 agresti-coull 0 25 0.000 -0.024 0.158
2         bayes 0 25 0.019  0.000 0.073
3        wilson 0 25 0.000  0.000 0.133

这bayes是杰弗里斯间隔。（type="central"需要该参数以获取等尾间隔。）

请注意，在计算间隔之前，应确定要使用三种方法中的哪一种。同时查看这三个选项并选择最短的选项，自然会给您带来很小的覆盖概率。

快速，近似的答案

最后要注意的是，如果您在n次试验中观察到恰好为零的成功，并且只想非常快速地近似置信区间，则可以使用3的规则。只需将数字3除以n即可。在上面的示例中，n为25，因此上限为3/25 = 0.12（下限当然为0）。

— 卡尔·奥夫·哈特汉默
source

非常感谢您的回答。想象一下这个现实示例：建筑师必须在摩天大楼中测试天花板上的所有隔热板是否正确安装。他在随机选择的地板上打开了25个天花板面板，并且首先找到了这些天花板面板的隔热材料。因此，我们可以根据Wilson得分区间得出结论，在CI [0.867到1]之间有95％的确定性具有隔热板的真实概率是多少？

— 卡巴斯尔2014年

我不会说您可以用“ 95％的确定性”（Google用“正确解释置信区间”）得出结论。同样，这是基于对独立试验具有相同成功概率的假设，在这里可能不现实。可能最后安装的面板安装不正确的风险较高（安装人员会感到厌倦/无聊）。也许第一个是，因为那时的人经验不足。无论如何，如果告诉建筑师测试所有面板是否正确安装，他应该做自己的工作，而不仅仅是测试样品！

— 2014年

bayes当两个形状参数均为1时，使用统一优先级（而不是Jeffrey）。出于对Jeffrey统一优先级的（劣势）的好奇心，我通过电子邮件向Binom软件包的维护者发送电子邮件，他告诉我将使用新版本统一优先级为默认值。因此，请不要怀疑结果将来是否会略有不同。

— cbeleites支持Monica

这是一个很好的答案。它传达了您可以在该主题的论文中阅读的所有关键信息，但非常简洁明了。如果我能投票两次，我会。

— SigmaX

中的binconf方法Hmisc还计算这些间隔。它默认为Wilson方法。

— SigmaX

Agretsi（2007，pp.9-10）显示，当比例下降到接近0或1时，置信区间效果较差。取而代之的是，使用“对偶信度重要性检验... [由的所有值组成的，可以判断为合理的空假设参数”，其中是未知参数。通过求解为此在方程。通过对两边进行平方使用二次公式求解，这将得出适当的临界z值。 $p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{p(1-p)/n}$ $\pi_0$ $\pi_0$ $\pi_0$

\frac{| p - π_{0} |}{\sqrt{p (1 - p) / n}} = 0

$\frac{|p-\pi_0|}{\sqrt{p(1-p)/n}}=0$

(1 + z_{0}^{2} / n) π_{0}^{2} + (- 2 p - z_{0}^{2} / n) π_{0} + p^{2} = 0

$(1+z_0^2/n)\pi_0^2+(-2p-z_0^2/n)\pi_0+p^2=0$

— 杰伊·席勒（Jay Schyler Raadt）
source

谢谢你的笔记。只想澄清：是中假定的失败（或成功率），而p是从样本中观察到的失败（或成功率）。n是样本大小，因此我们试图求解近似z值？（这里的基本假设是什么？）（您介意将我链接到论文Agretsi（2007，9-10页））。

π_{0}

$\pi_0$

— AI2.0

是的，是总体参数，是基于样本的参数估计，是样本量。此过程将为您提供所需的关键z值。基本假设在末尾的Agretsi和Coull（1998）中得到充实。不幸的是，Agretsi（2007）是一本教科书，所以我无法链接到它。 Scholar.google.com/…–

π_{0}

$\pi_0$

p

$p$

n

$n$

— Jay Schyler Raadt

那是阿格雷斯蒂。

— 尼克·考克斯

@NickCox这是另一幅作品

— Jay Schyler Raadt '18

艾伦·阿格里斯蒂（Alan Agresti）发表了各种文字。我猜您正在暗示约翰·威利（John Wiley）的《分类数据分析简介》（2007年第2版；计划于2018年10月出版的第3版，可能带有2019年的日期）。

— 尼克·考克斯

二项式估计为0或1的置信区间

不要使用正态近似

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计算间隔

快速，近似的答案