具有无限方差的正态分布的值大于平均值的概率是多少？

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今天在面试中我被问到类似的问题。

面试官想知道，当波动性趋于无穷大时，平价期权最终会平价化的可能性是多少。

我说0％是因为在Black-Scholes模型和随机游走假设下的正态分布将具有无限方差。因此，我计算出所有值的可能性为零。

我的面试官说正确的答案是50％，因为正态分布仍将是对称且几乎均匀的。因此，当您从均值到+无穷大积分时，您将获得50％。

我仍然不相信他的推理。

谁是对的？

normal-distribution variance

— 劳泽
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实际上，随着方差增加到无穷大，正态分布有一个（弱）限制。它涉及一个禁止的无穷小1 / Aleph（0）。您可以在Research Gate或Academia中阅读有关无穷小的文章。在Google中键入“ H. Tomasz Grzybowski”，进入带有我的文章的Research Gate页面，单击“ Contributions”并找到它。

— H. Tomasz Grzybowski

1

欢迎来到我们的网站@ H.TomaszGrzybowski。我已将您的帖子转换为评论，因为我知道您尚未获得创建评论的声誉，但是它实际上并未回答问题，因此不能保留为答复。阅读基于您的无穷小和弱极限的思想的解决方案会很有趣。你还到达的值

或你觉得值是不确定的？

1 / 2

$1/2$

— ub

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两种形式的推理在数学上都不严格-不存在具有无限方差的正态分布，也没有在方差增大时有限制分布的情况-因此，请谨慎一些。

在Black-Scholes模型中，假定基础资产的原木价格正在随机走动。问题等同于询问“资产在到期日的（对数）值超过其当前（对数）值的机会是多少？” 让波动率无限制地增加等同于让到期日期无限制地增加。因此，答案应该与询问“ 的极限是什么？在时间处的随机游走的值大于在时间处的游走的值？” 的答案相同。通过对称性（交换上下标），（并注意在连续模型中出现货币的机会为），这些概率等于 $t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ 对于任何，从那里它们的极限确实存在，并且等于。 $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— ub
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+1简而言之，是物理推理：两个可能的结果，完全对称，并且所有可能结果的概率总和必须为1 –唯一的答案可以是1/2（-;

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$X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$

直观地，您应该想象一个有限方差分布并使用其极限，而不是设想一个无限方差正态分布。

— 喝彩
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-2

您应该基于对数正态分布而不是正态分布进行分析。您的面试官指出分布是对称的时，他是错的。不管差异如何，它永远不会。您还需要区分波动率和所谓的无限方差。例如，股票价格没有上限，因此具有“无限方差”。

— 拉尔夫·温特斯
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2

涉及对数正态分布是正确的，但是没有必要调用它，如我的答复所示。基本的正态分布当然是对称的。股票价格（或其他任何价格）没有上限的事实并不意味着其分布具有无限的方差。顺便说一下，在布莱克-舒尔斯理论中，波动率确实是方差参数（对数分布）。

— ub

我们考虑的是期权，而不是股票。

— 炒锅

@wok是的，但是理论取决于资产（股票）价格的分布。选项值的分布既不是正态也不是对数正态。

— ub