当因变量具有“截止”时建模

如果我使用的任何术语不正确，请提前道歉。我欢迎任何纠正。如果我所说的“截断”使用不同的名称，请告诉我，我可以更新问题。

我感兴趣的情况是：您有自变量和一个因变量。我将保持模糊，但是假设为这些变量获得良好的回归模型将相对简单。 $\bf{x}$ $y$

但是，您要创建的模型是针对自变量 $\bf{x}$ 和因变量 $w = \min(y,a)$ ，其中 $a$ 是范围内的某个固定值 $y$ 。同样，您有权访问的数据不包含 $y$ ，仅包含 $w$ 。

一个（有些不切实际的）例子是，如果您试图模拟人们将领取养老金的年限。在这种情况下， $\bf{x}$ 可能是相关信息，例如性别，体重，每周运动时间等。“基本”变量 $y$ 是预期寿命。但是，您可以访问并试图在模型中预测的变量将是 $w = \min(0, y-r)$ ，其中r是退休年龄（为简单起见，它是固定的）。

在回归建模中是否有解决此问题的好方法？

— 本·亚伦森
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我不确定，但这听起来似乎可以通过生存分析的一些变化来实现。1）涉及审查2）至少在您的示例中，它涉及时间。但这将是左删减而不是右删减（更常见）。如果您同意我的看法，则可以添加生存标签，看看是否有人跳上它。

— 彼得·弗洛姆

@Peter对我来说肯定是正确的。进行检查的哪一侧意义不大，因为通过否定因变量，可以在右检查和左检查之间切换。

— ub

@whuber我认为你是对的。但是，正如您所说，审查方式可以轻松切换。

— 彼得·弗洛姆

退休示例似乎需要一个计数数据模型（如果您愿意舍入为整年，并且只要在运行分析时每个人都死了的话）。潜变量方法似乎有点牵强，因为时间不能为负。

— Dimitriy V. Masterov 2014年

根据学科和主题领域，这种模型有多种名称。它的通用名称是删失因变量，截断因变量，有限因变量，生存分析，Tobit和删失回归。我可能遗漏了其他几个名字。

您建议在其中观察到称为“正确检查”，因为值在实线上太靠右了，所以进行检查-而是我们只看到检查点，。 $\min\{y_i,a\}$ $y_i$ $a$

处理此类数据的一种方法是通过使用潜在变量（这基本上就是您的建议）。这是一种进行方法：

\begin{aligned} y_{i} & = x_{i}^{'} β + ε_{i} \\ w_{i} & = min {y_{i}, a} \\ ε_{i} & \sim N (0, σ^{2}) i i d \end{aligned}

$\begin{align} y_i &= x_i'\beta+\varepsilon_i\\ w_i &= \min\{y_i, a\}\\ \varepsilon_i &\sim N(0,\sigma^2)\; \ {\rm iid} \end{align}$

然后，您可以通过最大可能性进行分析。发生审查的观测值对似然函数的贡献为，而没有进行审查的观测值的贡献为到似然函数。标准法线的CDF为，标准法线的密度为。因此，似然函数如下所示： $P\{y_i>a\}=\Phi(\frac{1}{\sigma}x_i'\beta-a)$ $\frac{1}{\sigma}\phi((y_i-x_i'\beta)/\sigma)$ $\Phi$ $\phi$

\begin{aligned} L (β, σ) & = \prod_{i \in censored} Φ (\frac{1}{σ} x_{i}^{'} β - a) \prod_{i \notin censored} \frac{1}{σ} ϕ ((y_{i} - x_{i}^{'} β) / σ) \end{aligned}

$\begin{align} L(\beta,\sigma) &= \prod_{i\ \in\ \text{censored}} \Phi\left(\frac{1}{\sigma}x_i'\beta-a\right) \prod_{i\ \not\in\ \text{censored}} \frac{1}{\sigma}\phi\big((y_i-x_i'\beta)/\sigma\big) \end{align}$

您可以通过最大化此值来估算和。您将获得标准误差作为通常的最大似然标准误差。 $\beta$ $\sigma$

您可能会想到，这只是众多方法中的一种。

— 法案
source

+1 ML解决方案的有效示例出现在stats.stackexchange.com/questions/49443上。

— ub

@whuber这是一个很好的阐述。

— 比尔