两个高斯之间的地球移动器距离(EMD)


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和之间的EMD是否有封闭形式的公式(或某种形式的约束?x1N(μ1,Σ1)x2N(μ2,Σ2)


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根据 en.wikipedia.org/wiki/Earth_mover%27s_distance,EMD 与Mallows或Wasserstein距离相同,因此您可以尝试使用googlin。
kjetil b halvorsen 2014年

Answers:


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的距离可以写成EMD(P,Q)=infEXY,其中,最小值是X Y的所有联合分布的总和Y与边缘人XPYQ。这也称为第一个 Wasserstein距离,它是Wp=inf(EXYp)1/p且具有相同的最小值。

XP=N(μx,Σx)YQ=N(μy,Σy)

下界:由于詹森不等式,由于范数是凸的,

EXYE(XY)=μxμy,
因此EMD始终为至少均值之间的距离(对于任何分布)。

基于W2 再次由Jensen不等式 (EXY)2EXY2。因此W1W2。但是Dowson和Landau(1982)建立了

W2(P,Q)2=μxμy2+tr(Σx+Σy2(ΣxΣy)1/2),
给出EMD=W1

更严格的上限: 考虑耦合 这是Knott和Smith(1984)派生的地图。关于分布的最佳映射,《优化理论与应用学报》 43(1)pp作为的最佳映射;另请参阅此博客文章。请注意,和

XN(μx,Σx)Y=μy+Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12A(Xμx).
W2A=AT
EY=μy+A(EXμx)=μyVarY=AΣxAT=Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12ΣxΣx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12=Σx12(Σx12ΣyΣx12)Σx12=Σy,
因此耦合有效。

距离就是,现在 与 XYD

D=XY=XμyA(Xμx)=(IA)Xμy+Aμx,
ED=μxμyVarD=(IA)Σx(IA)T=Σx+AΣxAAΣxΣxA=Σx+ΣyΣx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12.

因此,的上限为。不幸的是,这种期望一个封闭的形式是令人惊讶的不愉快写下来一般多元法线:看到这个问题,以及这一个W1(P,Q)ED

如果的方差最终球形(例如,,则的方差变为),前者问题给出了广义Laguerre多项式的答案。DΣx=σx2IΣy=σy2ID(σxσy)2I

通常,基于詹森不等式,我们有一个简单的上限,例如在第一个问题中得出: ED

(ED)2ED2=μxμy2+tr(Σx+ΣyAΣxΣxA)=μxμy2+tr(Σx)+tr(Σy)2tr(Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12)=μxμy2+tr(Σx)+tr(Σy)2tr((Σx12ΣyΣx12)12)=W2(P,Q)2.
最后的相等是因为矩阵和是相似的,因此它们具有相同的特征值,因此其平方根具有相同的迹线。ΣxΣyΣx12ΣyΣx12=Σx12(ΣxΣy)Σx12

只要不退化,这种严格,在大多数情况下,当。DΣxΣy

一个猜想:也许这个更接近的上限很紧。再说一遍,我在这里有一个很长的不同上限,我猜想是很严格的,实际上比宽松,所以也许您不应该太相信这个猜想。:)EDW2

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