比较配对观测值的方差

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我有成对的观测值（，），它们来自一个共同的未知分布，该分布具有有限的第一和第二矩，并且围绕均值对称。 $N$ $X_i$ $Y_i$

令为的标准偏差（对无条件），对于为。我想检验一下假设 $\sigma_X$ $X$ $Y$ $\sigma_Y$

$H_0$ ： $\sigma_X = \sigma_Y$

$H_1$ ： $\sigma_X \neq \sigma_Y$

有人知道这样的测试吗？我可以在第一分析中假定分布是正态的，尽管一般情况更有趣。我正在寻找一种封闭形式的解决方案。Bootstrap永远是不得已的手段。

— 空洞的
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3

我不确定观察值配对的信息为什么对所检验的假设很重要；你能解释一下吗？

— russellpierce

1

@drknexus很重要，因为依赖性使费舍尔测试的校准变得困难。

— 罗宾吉拉德2011年

4

您可以使用以下事实：样本方差的分布是以真实方差为中心的卡方分布。在您的零假设下，您的检验统计量将是两个以相同未知真实方差为中心的卡方随机变量之差。我不知道两个卡方随机变量的差是否是可识别的分布，但是以上内容在某种程度上可以帮助您。

3

@svadali由于使用卡方比的分布表（Fisher's F），因此在这里通常使用比率。但是，无论您使用什么，问题的有问题的部分（即

和

之间的依赖性）仍然存在。建立具有两个相关的卡方的测试并不是一件容易的事……我试图给出关于这一点的解决方案的答案（见下文）。

X

$X$

Y

$Y$

— 罗宾吉拉德

7

如果您想沿着非参数路线走下去，可以随时尝试平方秩检验。

对于不成对的情况，此测试的假设（从此处获取）为：

这两个样本都是来自其各自种群的随机样本。
除了每个样本内的独立性之外，两个样本之间也存在相互独立性。
测量范围至少是间隔。

这些讲义详细描述了未配对的情况。

对于配对的情况，您将不得不稍作更改。在此页面的中途，您应该可以从哪里开始。

— csgillespie
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6

最简单方法我能想到的是退步 VS 作为，则执行一的假设-test 。回归斜率请参见t检验。 $Y_i$ $X_i$ $Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$ $t$ $m = 1$

不太天真的方法是Morgan-Pitman检验。令然后对与的皮尔逊相关系数进行检验。（只需使用Fisher RZ变换即可做到这一点，该变换给出样本Pearson系数附近的置信区间，或通过自举。） $U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$ $U_i$ $V_i$

如果您使用的是R，并且不想自己编写所有代码，那么我将使用bootdpciWilcox的Robust Stats软件包WRS。（请参见Wilcox的页面。）

— 破旧的
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4

如果您可以假设双变量正态性，那么您可以开发一个比较两个可能的协方差矩阵结构的似然比检验。无约束（H_a）最大似然估计是众所周知的-仅样本协方差矩阵，受约束的（H_0）可以通过写出似然来得出（并且可能是某种“合并的”估计）。

如果您不想导出公式，则可以使用SAS或R来拟合具有非结构化和复合对称协方差结构的重复测量模型，并比较可能性。

— 安妮子
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3

显然很困难，因为和都经过了核对（我假设联合为高斯，如Aniko），并且您无法做出任何改变（如@svadali的回答）或比率（如标准Fisher-Snedecor那样） “F-测试”），因为这些将依赖的分布，因为你不知道这种依赖是什么，这使得它很难从中得到下发行。 $X$ $Y$ $(X,Y)$ $\chi^2$ $H_0$

我的答案取决于下面的公式（1）。因为方差的差异可以通过特征值的差异和旋转角度的差异来分解，所以相等性检验可以分为两个检验。我证明，由于2D高斯向量的简单属性，可以将Fisher-Snedecor检验与诸如@shabbychef建议的斜率检验一起使用。

费雪测试： 如果 IID高斯随机变量与经验无偏方差和真方差，则有可能测试，如果使用的事实，空下， $i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$ $\hat{\lambda}^2_i$ $\lambda^2_i$ $\lambda_1=\lambda_2$

它使用的事实，遵循费雪分布

R = \frac{{\hat{λ}}_{X}^{2}}{{\hat{λ}}_{Y}^{2}}

$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$

F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

$F(n_1-1,n_2-1)$

R (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$

λ_{1}, λ_{2} > 0

$\lambda_1,\lambda_2>0$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$

ϵ_{2}

$\epsilon_2$

N (0, λ_{i}^{2})

$\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$

[\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] = R (θ) [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$

V a r (X) - V a r (Y) = (λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}) (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) [1]

$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$

Testing of $Var(X)=Var(Y)$ can be done through testing if ( $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ or $\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$ )

Conclusion (Answer to the question) Testing for $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ is easely done by using ACP (to decorrelate) and Fisher Scnedecor test. Testing $\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$ is done by testing if $|\beta_1|=1$ in the linear regression $Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$ (I assume $Y$ and $X$ are centered).

Testing wether $\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ at level $\alpha$ is done by testing if $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ at level $\alpha/3$ or if $|\beta_1|=1$ at level $\alpha/3$ .

— robin girard
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