分布的峰度与密度函数的几何关系如何？

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峰度用于测量分布的峰度和平坦度。分布的密度函数（如果存在）可以视为曲线，并具有与其形状相关的几何特征（例如曲率，凸度等）。

因此，我想知道分布的峰度是否与密度函数的某些几何特征有关，从而可以解释峰度的几何含义？

kurtosis geometry

— 提姆
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我要在公式中与密度曲线的某些几何量建立某种关系，而不仅仅是我在帖子中指出的含糊含义。或者只是对峰度为何具有几何意义进行一些解释就可以了

— Tim

@Peter事实并非如此。几乎可以任意修改PDF图形的几何形状，而无需更改任何指定的（有限数量）矩。

— ub

stats.stackexchange.com/questions/25010/…中密切相关的问题表明，对这个问题的正确答案应该是什么。

— whuber

@whuber，虽然我同意并感谢您的示例，但我也想知道，与一般的峰度相比，它是否没有更多地说明该特定pdf系列的显着特性。

— user603 2014年

@ user603真是令人惊讶。但是，该声明与该特定系列无关：只是发生了对数正态分布，它可以在相同的时刻产生一类替代PDF的显式表示。这是特别是所有的时刻是相同的，但在某种程度上扰乱大多数发行，修复自己的时刻有限数量并不难。（对于某些离散的发行版（例如Bernoulli）很难，但它们没有PDF。）

— whuber

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连续分布的时刻以及它们的功能（例如峰度）几乎不告诉您其密度函数的图。

例如，考虑以下图形。

在此处输入图片说明

这些每个都是非负函数的图，其积分为：它们都是PDF。而且，它们都具有完全相同的时刻-它们的后无限个时刻。因此，它们共享一个共同的峰度（恰好等于。 $1$ $-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

这些函数的公式是

f_{k, s} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} x} \exp (- \frac{1}{2} (\log (x))^{2}) (1 + s \sin (2 k π \log (x))

$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$

为和 $x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$ $k\in\mathbb{Z}.$

该图在左侧显示的值，在顶部显示值。左列显示了标准对数正态分布的PDF。 $s$ $k$

肯德尔的《高级统计学理论》（Stuart＆Ord，第5版）中的练习6.21 要求读者证明它们都具有相同的时刻。

可以类似地修改任何 pdf，以创建形状完全不同但具有相同的第二和第四中心矩（比如说）的另一个pdf，因此，它们具有相同的峰度。仅从该示例可以清楚地看出，峰度不是曲线的对称性，单峰性，双峰性，凸性或任何其他熟悉的几何特征的易于解释或直观的度量。

因此，弯矩的功能（以及峰度是一种特殊情况）不能描述pdf图的几何特性。这在直觉上是有道理的：因为pdf通过面积表示概率，所以我们几乎可以自由地将概率密度从一个位置移动到另一个位置，从而从根本上改变pdf的外观，同时固定任意数量的预先指定的矩。

— ub
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“仅从这个例子就应该很清楚……曲线的任何其他熟悉的几何特征。” 我理解您的意思，但此处的解释存在合理分歧的基础。达林顿的另一种解释是，他展示了如何从对称分布开始，在特定点移动一些质量来增加/减少峰度（再次，与您的示例不矛盾，只是更“积极”的理解）。

— user603 2014年

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@ user603我不同意，但我认为“正”方法忽略了隐式做出的非常特殊的假设，以使其完全起作用。也可以从一个极不对称的PDF图表开始，其偏度为零（不难构建）。因此，这种积极的方法仅描述了质量移动时某些非常特殊的PDF会发生什么情况。尽管这对于直觉很有用，但似乎与当前问题没有逻辑联系。

— whuber

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我同意偏斜（以及您的一般回答）。但是，峰度作为函数具有最小限度。这使事情变得更加有趣。

— user603 2014年

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@ user603谢谢；这是有见地的区别。我认为它不会以任何重要的方式改变目前的任何结论，但是它确实有助于直觉，并指出了偶数和奇数时刻之间的重要区别。

— ub

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对于对称分布（即那些均匀的中心矩有意义的分布），峰度测量基础pdf的几何特征。峰度与分布的峰值有关（或通常与之相关）是不正确的。相反，峰度衡量的是基础分布距离对称和双峰分布有多远（代数，完全对称和双峰分布的峰度为1，这是峰度可具有的最小可能值）[0]。

简而言之，如果您定义：

k = E (x - μ)^{4} / σ^{4}

$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$

$E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$

k = V (Z^{2}) + 1 \geq 1

$k=V(Z^2)+1\ge1$

$Z=(X-\mu)/\sigma$

$k$ $Z^2$

[0] RB Darlington（1970）。峰病真的是“尖峰病”吗？美国统计员卷。24，第2号。

[1] JJA Moors（1986）。峰顶的意义：重新审视达林顿。美国统计学家，第40卷，第4期。

— 用户603
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1

您到处都写“双峰”的意思是“单峰”吗？

— whuber

1

f

$f$

μ

$\mu$

g (x) = (f (x) + f (2 μ - x)) / 2.

$g(x) = (f(x)+f(2\mu-x))/2.$

g

$g$

1

$1$ 。因此，至少，峰度对双峰性无能为力。既然没有，那么它确切描述了pdf的什么几何特性？

— whuber

1

让我们继续在聊天中讨论这个问题

— ub

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峰度不表示双峰态，除非在极端情况下接近双峰态，这表示类似于两点等概率分布。您可以具有峰度的所有可能值的双峰分布。有关示例，请参阅ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753。

— 彼得·韦斯特伦

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p

$p$

p

$p$

v \to 0

$v \rightarrow 0$

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[注意：这是针对现场的另一个问题而写的；答案合并到当前问题中。这就是为什么此答案似乎回答了措辞不同的问题。但是，大多数帖子在这里都应具有相关性。]

峰度不能真正衡量分布的形状。在某些分销家族中，您可以说它描述了形状，但更普遍的是峰度并不能告诉您有关实际形状的太多信息。形状受许多因素影响，包括与峰度无关的因素。

如果使用图片搜索峰度，则会显示很多这样的图片：

相反，它似乎显示出变化的方差，而不是增加峰度。为了进行比较，这是我刚刚绘制的三个法线密度（使用R），具有不同的标准偏差：

在此处输入图片说明

如您所见，它看起来与上一张图片几乎相同。这些都具有完全相同的峰度。相比之下，这是一个可能更接近该图的目标的示例

在此处输入图片说明

绿色曲线既更尖峰，也更重尾（尽管此显示不适合查看尾部实际重了多少）。蓝色曲线的峰值较少，尾巴非常轻（实际上，除它根本没有尾巴） $\sqrt{6}$

人们谈论峰度时通常指的是密度的形状。但是，峰度可能很细微-不必那样工作。

例如，在给定的方差下，较高的峰度实际上可以以较低的峰出现。

人们还必须提防零多余峰度暗示正常现象的诱惑（在很多书中都公开指出）。存在峰度过大0的分布，这与正常情况完全不同。这是一个例子：

dgam 2.3

确实，这也说明了前面的观点。我可以很容易地构造出一个峰度比正常分布更高的相似分布，但其中心仍为零-完全没有峰值。

网站上有许多帖子进一步描述了峰度。这里是一个例子。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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但是我没有说吗？书上说了吗？

— Stat Tistician 2015年

我知道。我从没说过你说的您如何建议我回应您所问的公然错误的陈述？只是假装他们没看错？

— Glen_b-恢复莫妮卡

1

@Glen_b这些图片并非来自本书。这本书没有给出插图。我使用goolge图片搜索来查找这些插图。

— Stat Tistician 2015年

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一些作者将峰度表示为峰度，而有些人将其称为尾巴重量，但关于峰度是峰度测量值的怀疑性解释是唯一完全安全的故事。仅由欧文·卡普兰斯基（Irving Kaplansky，1945）给出的数值示例就足以表明，峰度没有明确地解释。（卡普兰斯基的论文是他在1940年代中期撰写的几本关于概率和统计的论文之一。他是一位知名的代数学家，因此而广为人知。）完整的参考资料以及更多内容都在stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0204中

— 尼克·考克斯

1

有一些书籍和论文声称峰度是峰值，因此我的第一句话仍然是正确的，并且可以作为对文献内容的陈述来支持。更关键的是人们如何看待卡普兰斯基的例子和论点。

— 尼克·考克斯

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$\mu \pm \sigma$

编辑11/23/2018：自从写这篇文章以来，我对峰度提出了一些几何观点。一个是，确实可以根据与正常分位数-分位数图的尾部中预期的45度线的偏差，以几何方式可视化过量峰度；请参阅此QQ图是否表明瘦小体或扁平小体分布？

$p_V(v)$ $V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$ $X$ $E(V)$ $V$ $X$

$\mu \pm \sigma$ $X$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$ $X$ $\le 0.25$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$

— 彼得·韦斯特尔弗
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您是否会在这里总结这些论点，而不仅是继续在大多数文章中继续让人们参考论文？请参阅帮助这里下“总是提供连结语境”，特别是当它说：“总是给重要组成部分”。在论点广泛的地方并不一定要从字面上引用它，但是至少需要对论点进行总结。您只需要发表一些详尽的声明，然后链接到论文即可。峰度测量尾巴行为的陈述（在没有上下文的情况下）具有误导性（明显如此）

— Glen_b -Reinstate Monica

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...但是，您不可能不同意您在这里没有提出的论点，甚至可能得出更细微的结论。

— Glen_b-还原莫妮卡

我的论点清楚地列在这里：en.wikipedia.org/wiki/… 欢迎评论！顺便说一句，峰度是衡量尾巴重量的方法，只是与已经考虑的其他方法不同。它通过E（Z ^ 4）来衡量尾巴重量，E（Z ^ 4）是尾巴重量的度量，因为值| Z | <1对其贡献很小。按照相同的逻辑，对于较高的偶数幂n，E（Z ^ n）也是尾部权重度量。

— Peter Westfall

嗨，彼得，您好，请访问stats.stackexchange.com/help/merging-accounts合并您的帐户，以便您可以修改旧帖子。

— ub

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一种不同的答案：我们可以使用http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm中的想法，以几何方式说明峰度：图形矩。

k = E {(\frac{X - μ}{σ})}^{4} = \int (\frac{x - μ}{σ})^{4} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int (\frac{x-\mu}{\sigma})^4 f(x) \; dx$

f

$f$

X

$X$

μ, σ^{2}

$\mu, \sigma^2$

x

$x$

k_{e} = k - 3

$k_e=k-3$

在下面的内容中，我将显示一些对称分布的峰度图，它们全部以零为中心并缩放为方差1。

请注意，从中心实际上没有对峰度做出任何贡献，这表明峰度与“峰值”没有太大关系。

— 凯捷蒂尔·哈沃森
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1

Z^{2}

$Z^2$

- b

$-b$

+ b

$+b$

b

$b$