核事故的综合概率

日本最近发生的事件使我思考以下问题。

通常，核电厂的设计目的是将严重事故的风险限制在“设计基准概率”之内，例如10E-6 /年。这是单个工厂的标准。但是，当有数百个反应堆时，我们该如何结合发生严重事故的单个概率？我知道自己可能会对此进行研究，但是找到该站点后，我确信可以有人很容易回答这个问题。谢谢

为了回答J Presley提出的纯概率问题，使用Bayer表示法（p =项目失败的概率），至少一个元素失败的概率为1-P（无失败）= 1-（1-p）^ 。这种类型的计算在系统可靠性中很常见，在该系统中，一堆组件并行链接，因此，如果至少有一个组件在运行，则系统将继续运行。

即使每个工厂项目具有不同的失败概率（p_i），您仍然可以使用此公式。公式将是1-（1-p_1）（1-p_2）...（1-p_n）。

在进行分析之前，请记住当前情况所涉及的现实。

这种崩溃不是由地震或海啸直接引起的。这是因为缺少备份功能。如果他们有足够的后备电源，无论地震/海啸如何，他们都可以保持冷却水的运转，而不会发生任何崩溃。该工厂可能现在已经备份并开始运行。

无论出于何种原因，日本都有两个电频率（50 Hz和60 Hz）。而且，您不能以60 Hz的频率运行50 Hz的电动机，反之亦然。因此，无论工厂使用/提供的频率是他们加电所需的频率。“美国类型”设备的运行频率为60 Hz，“欧洲类型”设备的运行频率为50 Hz，因此在提供备用电源时，请记住这一点。

接下来，该植物位于相当偏远的山区。要提供外部电源，需要从另一个区域（需要几天/几周的时间）或大型汽油/柴油驱动发电机组成的长电源线。这些发电机很重，以至于不能用直升机将它们带入。由于道路被地震/海啸阻挡，将它们运入卡车也可能是一个问题。可以选择将它们带上船，但这也需要几天/几周的时间。

最重要的是，该工厂的风险分析归结为缺乏数个（而不是一两个）备份层。而且，由于该反应堆是“主动设计”，这意味着它需要电源来保持安全，因此这些层并不是奢侈的，因此是必需的。

这是老植物。不会以这种方式设计新工厂。

编辑（03/19/2011）=========================================== ====

普雷斯利（J Presley）：要回答您的问题，需要对术语进行简短的解释。

正如我在评论中所说，对我来说，这是一个“何时”问题，而不是“如果”问题，作为一个粗略的模型，我建议采用泊松分布/过程。泊松过程（Poisson Process）是一系列事件，它们随时间（或空间或其他度量）以平均速率发生。这些事件彼此独立且随机（无模式）。这些事件一次只发生一次（两个或两个以上事件不会在同一时间发生）。基本上是二项式情况（“事件”或“无事件”），其中事件发生的可能性相对较小。以下是一些链接：

http://zh.wikipedia.org/wiki/泊松进程

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

接下来，数据。以下是自1952年以来具有INES等级的核事故清单：

http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_and_radiation_accidents

我算出19起事故，其中9个是INES等级。对于那些没有INES级别的用户，我所能做的就是假设级别低于1级，因此我将其指定为0级。

因此，一种量化方法是在59年内发生19起事故（59 = 2011 -1952）。那是19/59 = 0.322 acc /年。就一个世纪而言，每100年发生32.2起事故。假设泊松过程给出以下图表。

最初，我建议对事故的严重程度采用对数正态分布，伽玛分布或指数分布。但是，由于INES级别是作为离散值给出的，因此分布将需要是离散的。我建议几何分布或负二项分布。这是他们的描述：

http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

它们都适合于大约相同的数据，这不是很好（很多级别0，一个级别1，零级别2，等等）。

 Fit for Negative Binomial Distribution

 Fitting of the distribution ' nbinom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
      estimate Std. Error
 size 0.460949  0.2583457
 mu   1.894553  0.7137625
 Loglikelihood:  -34.57827   AIC:  73.15655   BIC:  75.04543 
 Correlation matrix:
              size           mu
 size 1.0000000000 0.0001159958 
 mu   0.0001159958 1.0000000000

 #====================
 Fit for Geometric Distribution

 Fitting of the distribution ' geom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
       estimate Std. Error
 prob 0.3454545  0.0641182
 Loglikelihood:  -35.4523   AIC:  72.9046   BIC:  73.84904 

几何分布是一个简单的一参数函数，而负二项分布是一个更灵活的二参数函数。我会寻求灵活性，再加上负二项式分布如何得出的基本假设。下面是拟合的负二项分布图。

下面是所有这些东西的代码。如果有人发现我的假设或编码有问题，请不要害怕指出。我检查了一下结果，但没有足够的时间来认真考虑一下。

 library(fitdistrplus)

 #Generate the data for the Poisson plots
 x <- dpois(0:60, 32.2)
 y <- ppois(0:60, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Cram the Poisson Graphs into one plot
 par(pty="m", plt=c(0.1, 1, 0, 1), omd=c(0.1,0.9,0.1,0.9))
 par(mfrow = c(2, 1))

 #Plot the Probability Graph
 plot(x, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 mtext(side=3, line=1, "Poisson Distribution Averaging 32.2 Nuclear Accidents Per Century", cex=1.1, font=2)
 xaxisdat <- seq(0, 60, 10)
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(x, type="h", lwd=3, col="blue")

 #Plot the Cumulative Probability Graph
 plot(y, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Cumulative Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(y, type="h", lwd=3, col="blue")

 axis(1, at=xaxisdat, padj=-2, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Number of Nuclear Accidents Per Century", 1, line=1)
 legend("topright", legend=c("99% Probability - 20 Accidents or More", " 1% Probability - 46 Accidents or More"), bg="white", cex=0.8)

 #Calculate the 1% and 99% values
 qpois(0.01, 32.2, lower.tail = FALSE)
 qpois(0.99, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Fit the Severity Data
 z <- c(rep(0,10), 1, rep(3,2), rep(4,3), rep(5,2), 7)
 zdis <- fitdist(z, "nbinom")
 plot(zdis, lwd=3, col="blue")
 summary(zdis)

编辑（03/20/2011）========================================== ============

J普雷斯利：对不起，我昨天无法完成这项工作。您知道周末情况如何，有很多职责。

此过程的最后一步是使用泊松分布来组装仿真以确定事件发生的时间，然后使用负二项分布来确定事件的严重性。您可能会运行1000组“世纪块”来生成0级到7级事件的8个概率分布。如果有时间，我可以运行仿真，但是现在，必须进行描述。也许有人读了这些东西就可以运行它。完成此操作后，您将获得一个“基本情况”，其中所有事件均假定为独立事件。

显然，下一步是放松上述假设中的一个或多个。泊松分布是一个简单的起点。假定所有事件都是100％独立的。您可以通过各种方式进行更改。以下是一些非均匀泊松分布的链接：

http://www.math.wm.edu/~leemis/icrsa03.pdf

http://filebox.vt.edu/users/pasupath/papers/nonhompoisson_streams.pdf

负二项分布也有相同的想法。这种结合将引导您走上各种道路。这里有些例子：

http://surveillance.r-forge.r-project.org/

http://www.m-hikari.com/ijcms-2010/45-48-2010/buligaIJCMS45-48-2010.pdf

http://www.michaeltanphd.com/evtrm.pdf

最重要的是，您问了一个问题，答案取决于您想走多远。我的猜测是，有人会委托某个地方生成“答案”，并且会对完成工作需要多长时间感到惊讶。

编辑（03/21/2011）========================================== ==========

我有机会一起拍了上面提到的模拟。结果如下所示。从原始的泊松分布开始，模拟提供了八个泊松分布，每个INES级别对应一个泊松分布。随着严重性级别的提高（INES级别号的提高），每世纪的预期事件数下降。这可能是粗略的模型，但这是一个合理的起点。

问题背后的根本困难是，已经预见到的情况通常已经计划好，并且已采取缓解措施。这意味着情况甚至不会变成严重的事故。

严重事故源于意外情况。这意味着您无法为它们评估概率-它们是拉姆斯菲尔德式的未知未知数。

独立性的假设显然是无效的-福岛第一核电站证明了这一点。核电厂可能会出现共模故障。（即由于共同原因，一个以上的反应堆一次不可用）。

尽管无法定量计算概率，但我们可以对共模故障做出一些定性断言。

例如：如果所有工厂都采用相同的设计建造，则它们更有可能出现共模故障（例如，EPR / PWR中增压器裂纹的已知问题）

如果工厂地点共享地理上的共同点，则它们更有可能发生共模故障：例如，如果它们都位于同一条地震断层线上；或者它们都依靠单个气候带中的相似河流来降温（夏季非常干燥时会导致所有此类植物下线）。

正如评论员指出的那样，这具有非常强的独立性假设。

$p$$1-p$$n$$(1-p)^n$$np$

如果您有兴趣：二项分布。