R中的正稳定分布

正稳态分布由四个参数描述：偏度参数，比例参数，位置参数等称为索引参数。当为零时，分布在左右对称，当它为正（分别为负）时，分布偏向右侧（分别为向左）当减小时，稳定的分布允许出现胖尾巴。$\beta\in[-1,1]$$\sigma>0$$\mu\in(-\infty,\infty)$$\alpha\in(0,2]$$\beta$$\mu$$\alpha$

当严格小于1并且时，分布的支持范围限制为。$\alpha$$\beta=1$$(\mu,\infty)$

对于参数值的某些特定组合，密度函数仅具有闭合形式的表达式。当，，，和它是（参见式（4.4）这里）：$\mu=0$$\alpha<1$$\beta=1$$\sigma=\alpha$

$f(y) = -\frac{1}{\pi y} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma(k\alpha+1)}{k!} (-y^{-\alpha})^k \sin(\alpha k \pi)$

它具有无限的均值和方差。

题

我想在R中使用该密度。

> alpha <- ...
> dstable(y, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)

其中dstable功能自带的fBasics包。

您能确定这是计算R中密度的正确方法吗？

先感谢您！

编辑

我对此表示怀疑的原因之一是，在输出中，delta的值与输入中的值不同。例：

> library(fBasics)
> alpha <- 0.4
> dstable(4, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
stable   0.4    1   0.4 0.290617  1

简短的答案是您的很好，但是您的错误。为了获得R中公式给定的正稳定分布，需要设置 $\delta$$\gamma$

$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}.$$

我能找到的关于您给出的公式的最早示例是在（Feller，1971）中，但我只是发现了这本书的物理形式。但是（Hougaard，1986）给出了相同的公式，以及拉普拉斯变换 从手册中（使用），参数化来自（Samorodnitsky和Taqqu，1994），这是我无法在线阅读的另一资源。但是（Weron，2001）在Samorodnitsky和Taqqu的参数化中给出了为

$$\mathrm{L}(s) = \mathrm{E}\left[\exp(-sX)\right] = \exp\left(-s^\alpha\right).$$ stablediststabledistfBasicspm=1$\alpha \neq 1$ $$\varphi(t) = \mathrm{E}\left[\exp(i t X) \right] = \exp\left[i \delta t - \gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \beta \mathrm{sign}(t) \tan{\frac{\pi \alpha}{2}} \right) \right].$$ 我已将Weron论文中的某些参数重命名为我们正在使用的表示法。他使用表示和表示。无论如何，插入和，我们得到 $\mu$$\delta$$\sigma$$\gamma$$\beta=1$$\delta=0$ $$\varphi(t) = \exp\left[-\gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \mathrm{sign}(t) \tan \frac{\pi \alpha}{2} \right) \right].$$

注意表示，而。形式上，因此通过设置在我们得到 值得注意的一点是，与对应的也是，因此，如果您尝试使用或$(1 - i \tan (\pi \alpha / 2)) / |1 - i \tan(\pi \alpha / 2)| = \exp(-i \pi \alpha / 2)$$\alpha \in (0, 1)$$i^\alpha = \exp(i \pi \alpha / 2)$$\mathrm{L}(s)=\varphi(is)$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}$$\varphi(t)$

$$\varphi(is) = \exp\left(-s^\alpha\right) = \mathrm{L}(s).$$ $\gamma$$\alpha=1/2$$1/2$$\gamma=\alpha$$\gamma=1-\alpha$，实际上这不是一个不好的近似值，您最终对于完全正确。$\alpha=1/2$

这是R中检查正确性的示例：

library(stabledist)

# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
  k <- 1:K
  return(
    -1 / (pi * x) * sum(
      gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) * 
        (-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
    )
  )
}

# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
  iu <- complex(real=0, imaginary=1)
  return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}

x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='', 
     xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
       lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
       lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7), 
     labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
              expression(paste(alpha, " = 0.5")),
              expression(paste(alpha, " = 0.6"))))

for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
  y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
  lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
  lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1), 
        col="black", lwd=2, lty=2)
}

$\hskip1in$

1. 费勒W.（1971）。简介概率论及其应用，2，第2版。纽约：威利。
2. Hougaard，P。（1986）。生存模型对不同的人群从稳定分布派生，Biometrika 73，387-396。
3. Samorodnitsky，G.，Taqqu，MS（1994）。稳定的非高斯随机过程，查普曼和霍尔，纽约，1994年。
4. 韦伦河（2001）。重新征税稳定分布：尾指数> 2不排除征税稳定制度，国际现代物理学杂志C，2001，12（2），209-223。

我认为正在发生的是，在输出中delta可能正在报告内部位置值，而在输入中delta正在描述偏移。[ gammawhen 似乎存在类似的问题pm=2。]因此，如果您尝试将偏移增加到2

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1)
[1] 0.06569375
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 2.290617  1

然后将位置值加2。

使用beta=1和时，pm=1您有一个正随机变量，其分布下限为0。

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=1))
[1] 0.002666507

移位2，下限上升相同的量

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1))
[1] 2.003286

但是，如果您希望delta输入是内部位置值而不是shift或下限，则需要对参数使用不同的规范。例如，如果您尝试以下操作（使用pm=3and try delta=0和delta=0.290617之前找到的对象），您似乎会得到相同delta的结果。使用pm=3和，delta=0.290617您得到的密度为0.02700602，即先前发现的密度，并且下限为0。使用pm=3和，delta=0您得到的负下限（实际上是-0.290617）。

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3)
[1] 0.02464434
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma delta pm
 stable   0.4    1   0.4     0  3
> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 0.290617  3
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3))
[1] -0.2876658
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3))
[1] 0.004303485

您可能会发现，简单地delta在输出中忽略就更容易了，只要您继续beta=1使用输入中的pm=1均值delta就是分布下界，您似乎希望为0。

还要注意：Martin Maechler只是重构了稳定分布的代码，并进行了一些改进。

fBasics也将使用他的新软件包stabledist，因此您可能也想看看。