不相关但不独立的和简单示例

任何勤奋的学生都是“所有学生都是懒惰的”的反例。

对于“如果随机变量和不相关，则它们是独立的”，有哪些简单的反例？$X$$Y$

令。$X\sim U(-1,1)$

令。$Y=X^2$

变量不相关但相关。

另外，考虑一个离散的双变量分布，该分布由3个点（-1,1），（0，-1），（1,1）的概率分别为1 / 4、1 / 2、1 / 4的概率组成。然后，变量是不相关的，而是相关的。

考虑菱形（旋转45度的正方形）中的双变量数据均匀。变量将不相关，但是相关。

这些是我能想到的最简单的情况。

我认为可以通过以零为中心的连续随机变量（即开始来了解一些简单的反例的本质。假设的pdf 是偶数，并且以形式的间隔定义，其中。现在假设某些函数为。现在我们问一个问题：对于哪种函数，我们可以使？ë [ X ] = 0 X （- 一，一）一> $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$f f （X ）C o v （X ，f （X ））= $Y=f(X)$$f$$f(X)$$Cov(X,f(X))=0$

我们知道。我们的假设将我们直接带到。通过表示的pdf ，我们有E [ X ] = 0 C o v （X ，f （X ））= E [ X f （X ）] X p $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$。

我们希望，实现这一目标的一种方法是确保是一个偶函数，这意味着是一个奇函数。然后得出，因此。˚F （X ）X ˚F （X ）p （X ）∫ 一个- 一个 X ˚F （X ）p （X ）d X = 0 Ç Ö v （X ，˚F （X ））= $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$$Cov(X,f(X))=0$

通过这种方式，我们可以看到的确切分布为沿作为PDF文件的是周围的一些点和任何偶函数对称不重要将用于定义做。f （⋅ ）$X$$f(\cdot)$$Y$

希望这可以帮助学生了解人们如何提出这类反例。

成为反例（即勤奋的学生）！照这样说：

我试图考虑一个真实的例子，这是我想到的第一个例子。这在数学上不是最简单的情况（但是，如果您理解此示例，则应该能够找到一个带有骨灰盒，球或其他东西的简单示例）。

根据一些研究，男性和女性的平均智商是相同的，但是男性智商的方差大于女性智商的方差。具体来说，假设男性智商遵循，女性智商遵循其中。一半的人口是男性，一半的人口是女性。Ñ （100 ，α σ 2）α < $N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

假设这项研究是正确的：

性别与智商有什么关系？

性别和智商独立吗？

我们可以定义一个离散随机变量与P（X = - 1 ）= P（X = 0 ）= P（X = 1 ）= $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

然后定义$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

可以很容易地验证和是不相关的但不是独立的。$X$$Y$

试试这个（R代码）：

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

这是根据圆的方程式得出的$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$与不相关，但在功能上相关（确定性）。 $x$

缺乏相关性暗示独立性的唯一一般情况是X和Y的联合分布是高斯分布。

有两个句子的答案：不相关的统计依存关系最清楚的情况是RV的非线性函数，例如Y = X ^ n。两个RV显然是相关的，但不相关，因为相关是线性关系。