不相关但不独立的和简单示例


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任何勤奋的学生都是“所有学生都是懒惰的”的反例。

对于“如果随机变量和不相关,则它们是独立的”,有哪些简单的反例?ÿXY


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我认为这是重复的,但是我懒得搜索它。取和。,但显然两个变量不是独立的。ÿ = X 2 Ç ø v X ÿ = Ë X 3 = 0XN(0,1)Y=X2cov(X,Y)=EX3=0
mpiktas 2014年

1
一个简单的例子(尽管可能甚至更简单)
Glen_b-恢复莫妮卡2014年

1
采取被均匀分布在和,。[ 0 2 π ] X = COS Ù Ŷ = ùU[0,2π]X=cosUY=sinU
Dilip Sarwate 2014年

因为“最简单”的含义是不确定的,所以这个问题不能客观地回答。我在stats.stackexchange.com/questions/41317上选择了重复,其依据是边际分布的支持基数的最简单=最小。
ub

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@whuber:即使“最简单”的定义确实不是很好,但此处的答案(例如Glen_b的答案)显然比您关闭此线程作为副本的线程提供更为简单的示例。我建议重新打开该示例(我已经投了赞成票),也许应该让CW来强调以下事实:“最简单”的定义不明确,OP可能要求提供各种“简单”的示例。
变形虫说恢复莫妮卡

Answers:


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令。XU(1,1)

令。Y=X2

变量不相关但相关。

另外,考虑一个离散的双变量分布,该分布由3个点(-1,1),(0,-1),(1,1)的概率分别为1 / 4、1 / 2、1 / 4的概率组成。然后,变量是不相关的,而是相关的。

考虑菱形(旋转45度的正方形)中的双变量数据均匀。变量将不相关,但是相关。

这些是我能想到的最简单的情况。


是否所有对称且以0为中心的随机变量都不相关?
马丁·托马

1
@moose您的描述不明确。如果您的意思是“如果关于零对称,而关于零对称”,那么就不会,因为例如可以将具有标准正态余量的双变量正态相关联。如果您的意思是“如果关于零对称并且是的偶数函数”,那么只要存在方差,我相信答案是肯定的。如果您有其他意思,则必须解释。Y X Y XXYXYX
Glen_b-恢复莫妮卡

7

我认为可以通过以零为中心的连续随机变量(即开始来了解一些简单的反例的本质。假设的pdf 是偶数,并且以形式的间隔定义,其中。现在假设某些函数为。现在我们问一个问题:对于哪种函数,我们可以使?ë [ X ] = 0 X - > 0XË[X]=0X-一种一种一种>0f f X C o v X f X = 0ÿ=FXFFXCØvXFX=0

我们知道。我们的假设将我们直接带到。通过表示的pdf ,我们有E [ X ] = 0 C o v X f X = E [ X f X ] X p CØvXFX=Ë[XFX]-Ë[X]Ë[FX]Ë[X]=0CØvXFX=Ë[XFX]Xp

CØvXFX=Ë[XFX]=-一种一种XFXpXdX

我们希望,实现这一目标的一种方法是确保是一个偶函数,这意味着是一个奇函数。然后得出,因此。˚F X X ˚F X p X 一个- 一个 X ˚F X p X d X = 0 Ç Ö v X ˚F X = 0CØvXFX=0FXXFXpX-一种一种XFXpXdX=0CØvXFX=0

通过这种方式,我们可以看到的确切分布为沿作为PDF文件的是周围的一些点和任何偶函数对称不重要将用于定义做。f YXFÿ

希望这可以帮助学生了解人们如何提出这类反例。


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成为反例(即勤奋的学生)!照这样说:

我试图考虑一个真实的例子,这是我想到的第一个例子。这在数学上不是最简单的情况(但是,如果您理解此示例,则应该能够找到一个带有骨灰盒,球或其他东西的简单示例)。

根据一些研究,男性和女性的平均智商是相同的,但是男性智商的方差大于女性智商的方差。具体来说,假设男性智商遵循,女性智商遵循其中。一半的人口是男性,一半的人口是女性。Ñ 100 α σ 2α < 1ñ100σ2ñ100ασ2α<1个

假设这项研究是正确的:

性别与智商有什么关系?

性别和智商独立吗?


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我们可以定义一个离散随机变量与PX = - 1 = PX = 0 = PX = 1 = 1X{-1个01个}PX=-1个=PX=0=PX=1个=1个3

然后定义Y={1,ifX=00,除此以外

可以很容易地验证和是不相关的但不是独立的。ÿXÿ


2

试试这个(R代码):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

这是根据圆的方程式得出的x2+y2-[R2=0

Xÿ与不相关,但在功能上相关(确定性)。 X


1
样本相关性为零并不意味着真实相关性为零。
mpiktas

3
@mpiktas如果这四个值代表一个均值为1/4的双变量分布,则该cor函数返回零将表示总体相关性为零。
Glen_b-恢复莫妮卡2014年

@Glen_b我应该对代码进行更好的注释。这可能不是所有人都知道的。您可以使用分号以为我想是不是推荐为R的编码风格
分析师

1
@Glen_b是的,您是正确的。但这没有说明。顺便说一句。
mpiktas 2014年

1

缺乏相关性暗示独立性的唯一一般情况是X和Y的联合分布是高斯分布。


2
这并不能通过产生一个简单的例子来直接回答问题-从这个意义上说,它更多是评论-但它确实提供了间接答案,因为它提出了大量可能的例子。可能需要对此帖子重新措辞,以使其更清楚地回答原始问题。
银鱼

-1

有两个句子的答案:不相关的统计依存关系最清楚的情况是RV的非线性函数,例如Y = X ^ n。两个RV显然是相关的,但不相关,因为相关是线性关系。


除非对于某些非常特定的分布,否则RV XY = X n通常是相关的。XXÿ=Xñ
StijnDeVuyst

这个答案是不正确的。在R中:表达式:{x <-runif(100); cor(x,x ^ 3)}结果:0.9062057
乔什(Josh
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