任何勤奋的学生都是“所有学生都是懒惰的”的反例。
对于“如果随机变量和不相关,则它们是独立的”,有哪些简单的反例?ÿ
任何勤奋的学生都是“所有学生都是懒惰的”的反例。
对于“如果随机变量和不相关,则它们是独立的”,有哪些简单的反例?ÿ
Answers:
令。
令。
变量不相关但相关。
另外,考虑一个离散的双变量分布,该分布由3个点(-1,1),(0,-1),(1,1)的概率分别为1 / 4、1 / 2、1 / 4的概率组成。然后,变量是不相关的,而是相关的。
考虑菱形(旋转45度的正方形)中的双变量数据均匀。变量将不相关,但是相关。
这些是我能想到的最简单的情况。
我认为可以通过以零为中心的连续随机变量(即开始来了解一些简单的反例的本质。假设的pdf 是偶数,并且以形式的间隔定义,其中。现在假设某些函数为。现在我们问一个问题:对于哪种函数,我们可以使?ë [ X ] = 0 X (- 一,一)一> 0f f (X )C o v (X ,f (X ))= 0
我们知道。我们的假设将我们直接带到。通过表示的pdf ,我们有E [ X ] = 0 C o v (X ,f (X ))= E [ X f (X )] X p (
。
我们希望,实现这一目标的一种方法是确保是一个偶函数,这意味着是一个奇函数。然后得出,因此。˚F (X )X ˚F (X )p (X )∫ 一个- 一个 X ˚F (X )p (X )d X = 0 Ç Ö v (X ,˚F (X ))= 0
通过这种方式,我们可以看到的确切分布为沿作为PDF文件的是周围的一些点和任何偶函数对称不重要将用于定义做。f (⋅ )Y
希望这可以帮助学生了解人们如何提出这类反例。
试试这个(R代码):
x=c(1,0,-1,0);
y=c(0,1,0,-1);
cor(x,y);
[1] 0
这是根据圆的方程式得出的
X与不相关,但在功能上相关(确定性)。
cor
函数返回零将表示总体相关性为零。
缺乏相关性暗示独立性的唯一一般情况是X和Y的联合分布是高斯分布。
有两个句子的答案:不相关的统计依存关系最清楚的情况是RV的非线性函数,例如Y = X ^ n。两个RV显然是相关的,但不相关,因为相关是线性关系。