期望与平均值相同吗？

我正在大学里做ML，而教授在试图向我们解释有关高斯过程的某些东西时，提到了期望（E）一词。但是根据他的解释，我知道E与平均值μ相同。我明白吗？

如果相同，那么您知道为什么同时使用两个符号吗？我也看到E可以像E（）一样用作函数，但是我对μ没有看到。 $x^2$

有人可以帮助我更好地了解两者之间的区别吗？

machine-learning gaussian-process linear-algebra

— 吉姆·布鲁姆
source

对于连续，其中是概率密度函数。因此，仅当为参数时才成立。但是，如果我们有，其中是恒等函数。

X

$X$

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) x d x = μ (x)

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x dx = \mu(x)$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

E [g (X)] = E [X] = μ (X)

$E[g(X)] = E[X] = \mu(X)$

g

$g$

— 亚瑟

@Jase吗？为什么右边是的函数，当评估积分时，在替换极限后该应该消失了？

μ (x)

$\mu(x)$

x

$x$

— Dilip Sarwate 2014年

@DilipSarwate是一个错字。意思是。

μ (x)

$\mu(x)$

μ = μ (X)

$\mu = \mu(X)$

— 亚瑟

约翰：如果我是你，我将在参加机器学习/高斯过程课程之前学习基本概率。看看这本书：math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html

— 禅

非常感谢你们的帮助！我没想到会有太多反馈。@Zen非常感谢您的建议。我绝对同意你的看法。我已经将概率论和统计学作为本科课程，但是，我们仅对分布和概率作了简单介绍，但是不幸的是，我们没有对其进行深入研究。此外，我们没有提到“期望”一词。我现在正在尝试自己填补统计和概率方面的空白。

— Jim Blum 2014年

Answers:

期望值/期望值是可以应用于随机变量的运算符。对于具有可能值的离散随机变量（如二项式），将其定义为。也就是说，它是由这些值的概率加权的可能值的平均值。可以将连续随机变量看作是它的概括：。随机变量的平均值是期望的同义词。 $k$ $\sum_i^k x_i p(x_i)$ $\int x dP$

高斯（正态）分布具有两个参数和。如果正态分布，则。因此，高斯分布变量的均值等于参数，但并非总是如此。取二项式分布，其参数为和。如果是二项分布的，则。 $\mu$ $\sigma^2$ $X$ $E(X)=\mu$ $\mu$ $n$ $p$ $X$ $E(X)=np$

如您所见，您还可以将期望值应用于随机变量的函数，以便对于高斯可以发现。 $X$ $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

Wikipedia页面上的期望值非常有用：http：//en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

— 杰里米·科伊尔（Jeremy Coyle）
source

“......所以，对于高斯

你可以找到

”。要保持这种关系，高斯定理的

绝对必要吗？

X

$X$

E (X^{2}) = σ^{2} + μ^{2}

$E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

X

$X$

— Dilip Sarwate 2014年

关系

将始终成立，但是我希望根据分布参数写出答案。因此，如果我问某人

分布二项式

是什么，我希望得到答案

，而不是

E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2}

$E(X^2)=V(X)+E(X)^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

X

$X$

(n, p)

$(n,p)$

n p (1 - p) + (n p)^{2}

$np(1-p)+(np)^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

— 杰里米科伊尔

但是，如果你问什么是

与平均值的二项随机变量

和方差

，答案会是

。当然，通常使用

和

参数化二项式随机变量，但是那又如何呢？从均值和方差，我们可以很容易地找到

E (X^{2})

$E(X^2)$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

n

$n$

p

$p$

和

p = 1个 - \frac{方差}{意思}

$p = 1 - \frac{\text{variance}}{\text{mean}}$

ñ = \frac{意思}{p} = \frac{{意思}^{2}}{意思 - 方差} 。

$n = \frac{\text{mean}}{p} = \frac{\text{mean}^2}{\text{mean}-\text{variance}}.$

— Dilip Sarwate 2014年

该示例的主要目的是区分分布的参数和分布的矩。是的，可以根据它们的矩来重新分配分布，但是由于OP询问的是

和

之间的关系，因此继续进行区分似乎很重要。您选择对此有学问的理由吗？

E (X)

$E(X)$

μ

$\mu$

— 杰里米·科伊尔

非常感谢Jeremy！极好的答案。您非常有帮助！

— 吉姆·布鲁姆

对运算符E（）的期望（发现了对良好字体（罗马或斜体，普通或奇特的字体有各种偏好），确实暗示了其论点的含义，但是是在数学或理论上。这个术语可以追溯到17世纪的Christiaan Huygens。这个想法是明确的多概率论与数理统计，例如彼得·惠特尔的书通过预期概率明确如何将其更中心提出。

基本上，只是一个约定问题，均值（平均值）通常也用相当不同的方式表示，尤其是用单个符号表示，尤其是当这些均值是根据数据计算时。但是，刚刚引用的书中的Whittle使用符号A（）进行平均，并且要平均的变量或表达式周围的尖括号在物理科学中很常见。

— 尼克·考克斯
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