线性高斯卡尔曼滤波器的LogLikelihood参数估计

我已经编写了一些代码，可以对n维状态向量进行线性高斯状态空间分析（使用许多不同的Kalman型滤波器[Information Filter等]）。筛选器效果很好，我得到了一些不错的输出。但是，通过对数似然估计进行参数估计会使我感到困惑。我不是统计学家，而是物理学家，所以请保持友好。

让我们考虑线性高斯状态空间模型

$$y_t = \mathbf{Z}_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t},$$ $$\alpha_{t + 1} = \mathbf{T}_{t}\alpha_{t} + \mathbf{R}_{t}\eta_{t},$$

其中是我们的观察向量，我们在时间步处的状态向量。粗体为状态空间模型的变换矩阵，这些变换矩阵是根据所考虑的系统的特性设置的。我们还有$y_{t}$$\alpha_{t}$$t$

η 吨〜Ñ 我d （0 ，Q 吨），α 1〜Ñ 我d （一个1，P 1）

$$\epsilon_{t} \sim NID(0, \mathbf{H}_{t}),$$ $$\eta_{t} \sim NID(0, \mathbf{Q}_{t}),$$ $$\alpha_{1} \sim NID(a_{1}, \mathbf{P}_{1}).$$

其中。现在，我已经通过猜测初始参数和方差矩阵和来推导并实现了该通用状态空间模型的Kalman滤波器的递归，我可以生成图喜欢H 1 Q $t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

其中的点是100年1月的尼罗河水位，线是“卡拉姆估计”状态，虚线是90％的置信度。

现在，对于此一维数据集，矩阵和分别只是标量和。所以现在我想使用卡尔曼滤波器的输出和对数似然函数为这些标量获取正确的参数Q 吨 σ ε σ $\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

$$\log L(Y_{n}) = -\frac{np}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\sum^{n}_{t = 1}(log|\mathbf{F}_{t}| + v^{\mathsf{T}}_{t}\mathbf{F}_{t}^{-1}v_{t})$$

其中是状态误差，是状态误差方差。现在，这是我感到困惑的地方。从卡尔曼滤波器中，我可以获得制定所需的所有信息，但这似乎使我无法更接近地计算和的最大可能性。我的问题是如何使用对数似然法和上述方程式计算和的最大可能性？算法崩溃现在对我来说就像一杯冰镇啤酒...˚F 吨大号σ ε σ η σ ε σ η$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

谢谢你的时间。

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注意。对于一维情况，和。这是单变量局部模型。 ħ 吨 = σ 2 $\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

换句话说，您可以将卡尔曼滤波器视为计算和隐式函数的一种方式。然后，您唯一需要做的就是将计算结果打包到一个函数或子例程中，然后将该函数处理为优化例程，例如在R中。该函数应该接受和作为输入 并返回 。 σ 2 η σ 2 ε σ 2 η日志大号（ÿ Ñ$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

R中的某些软件包（例如dlm）可以为您做到这一点（请参见实例函数dlmMLE）。