如何将瘦态分布转变为正态分布？

假设我有一个变数变量，我想将其转换为正态分布。哪些转换可以完成此任务？我很清楚，转换数据可能并不总是理想的，但是作为一项学术追求，假设我想将数据“锤击”到正常状态。此外，从图中可以看出，所有值均严格为正。

我已经尝试了各种转换（我以前见过的几乎所有转换，包括等），但是它们都不能很好地工作。是否有使Leptokurtic分布更正常的众所周知的转换？$\frac 1 X,\sqrt X,\text{asinh}(X)$

请参见下面的示例普通QQ图：

我使用重尾Lambert W x F分布来描述和转换瘦体素数据。有关更多详细信息和参考，请参见以下我的帖子：

• 转换以增加正常rv的峰度和偏度：这显示了一些有关变化时密度如何变化的例证。$\delta$
• 这些数据的分布是什么？：一个如何使用此示例估计模型参数和对数据进行高斯化的应用示例。

这是使用LambertW R软件包的可复制示例。

library(LambertW)
set.seed(1)
theta.tmp <- list(beta = c(2000, 400), delta = 0.2)
yy <- rLambertW(n = 100, distname = "normal", 
                theta = theta.tmp)

test_norm(yy)

## $seed
## [1] 267509
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.008
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.003
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 1, p-value = 0.01

的qqplot yy是非常接近你qqplot在原岗位和数据确实是与你的。因此数据可以由一个兰伯特W¯¯很好地描述为5的峰度略微尖峰厚尾高斯分布与输入和尾部参数（这意味着仅存在阶次为矩）。X 〜Ñ （2000 ，400 ）δ = 0.2 ≤ $\times$$X \sim N (2000, 400)$$\delta = 0.2$$\leq 5$

现在回到您的问题：如何再次使该瘦体素数据正常？好吧，我们可以使用MLE估算分布的参数（或使用矩的方法IGMM()），

mod.Lh <- MLE_LambertW(yy, distname = "normal", type = "h")
summary(mod.Lh)

## Call: MLE_LambertW(y = yy, distname = "normal", type = "h")
## Estimation method: MLE
## Input distribution: normal
## 
##  Parameter estimates:
##        Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     2.05e+03    4.03e+01    50.88   <2e-16 ***
## sigma  3.64e+02    4.36e+01     8.37   <2e-16 ***
## delta  1.64e-01    7.84e-02     2.09    0.037 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## -------------------------------------------------------------- 
## 
## Given these input parameter estimates the moments of the output random variable are 
##   (assuming Gaussian input): 
##  mu_y = 2052; sigma_y = 491; skewness = 0; kurtosis = 13.

然后使用双射逆变换（基于W_delta()）将数据反变换为输入，这在设计上应该非常接近法线。$X$

# get_input() handles does the right transformations automatically based on
# estimates in mod.Lh
xx <- get_input(mod.Lh)
test_norm(xx)

## $seed
## [1] 218646
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 1
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 1
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 0.1, p-value = 1

瞧！

此答案归功于原始问题的评论部分中的@NickCox的建议。他建议我减去数据的中位数，然后将转换应用于偏差。例如，，并以作为参数。 ÿ-中值（Ý$\text{sign(.)}\cdot\text{abs(.)}^{\frac 1 3}$$Y-\text{median}(Y)$

尽管立方根的转换效果不佳，但事实证明平方根和更模糊的四分之三根效果很好。

这是与原始问题中瘦腿变量的QQ图相对应的原始内核密度图：

将平方根变换应用于偏差后，QQ图如下所示：

更好，但是可以更接近。

进行更多锤击，将四分之三的根变换应用于偏差，得出：

这个转换变量的最终内核密度如下所示：

看起来离我很近。

在许多情况下，可能根本就没有简单形式的单调变换会产生接近正常值的结果。

例如，假设我们有一个分布，它是各种参数的对数正态分布的有限混合。对数转换会将混合的任何分量转换为正态，但是转换后的数据中的法线混合会给您带来不正常的东西。

或可能有相对不错的转换，但不是您想尝试的一种形式-如果您不知道数据的分布，则可能找不到。例如，如果数据是伽玛分布的，除非我确切地告诉您分布是什么，否则您甚至都不会找到对正态性的确切变换（确实存在）（尽管您可能会偶然发现这种情况下的立方根变换）只要shape参数不是太小，情况就会非常接近正常情况）。

在无数种方法中，数据看起来可以合理地进行转换，但在任何明显的转换列表中看起来都不理想。

如果您可以让我们访问数据，则很可能是我们可以发现可以进行的转换-或可以向您展示为什么找不到一个转换。

仅从那里的视觉印象来看，它看起来就像是两个具有不同比例的法线的混合。仅有一点不对称提示，您很容易偶然发现。这是一个使用两个具有共同均值的法线混合而成的样本的示例-如您所见，它看起来有点像您的情节（但其他样本可能看起来更重或更轻尾）-在此样本大小下，顺序存在很大差异均值两端均超出1 sd的统计信息）。

实际上，这是您和我的叠加：

$\quad\quad\quad$