为什么（对进行审查）

在一个问题集中，我证明了这个“引理”，其结果对我而言并不直观。是审查模型中的标准正态分布。 $Z$

形式上，和。然后，因此，截断域上的期望公式与截断点处的密度之间存在某种联系。谁能解释这背后的直觉？ $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— 海森堡
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事实证明，这是因为项是该项在指数中的导数的负数。这是标准法线的许多简洁结果之一，但不一定背后有直觉。另一方面，如果这里有一个聪明的人能提出某种直觉，这一点也不会令我感到惊讶。

z

$z$

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

@Glen_b您的意思是，其中是的PDF 任何连续分布

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber确实是这种情况，值得强调该结果，因为它与问题中的结果直接相关，但实际上，在我的评论中，我具体指的是其中第一个术语为（因为术语“预期式”是在的问题，我把它为约，这是特定于正常。

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstate莫妮卡

（至少要达到该条件期望的明显的乘法常数）。但是，对于特定可能值得在答案中进行讨论。

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

您的最新编辑要求提供对错误陈述的证明（或直观的解释）。的条件的密度的空调上是，因此条件期望值为而不是修订标题中的内容。

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate 2014年

微积分的基本定理对您有用吗？

令表示标准正态随机变量的密度函数。然后，导数为。微积分的基本定理然后给我们，其中第二个积分是通过替换并使用的事实获得的和第三点，注意。或者，将第二个积分写为到的积分 $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ 加积分从向，并注意从奇函数积分到中的结果。

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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