贝瑞反演

我拥有关于美国葡萄酒销售的大量市场数据集，我想估计对某些优质葡萄酒的需求。这些市场份额基本上来自于以下形式的随机效用模型：其中包括观察到的产品特征，表示产品价格，是影响需求且与价格相关的未观察到的产品特征，是误差项，索引个人，索引产品和指数市场（在这种情况下为城市）。

U_{i j t} = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t} + ϵ_{i j t} \equiv δ_{j t} + ϵ_{j t}

$U_{ijt} = X’_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt} + \epsilon_{ijt} \equiv \delta_{jt} + \epsilon_{jt}$

X

$X$

p

$p$

ξ

$\xi$

ϵ

$\epsilon$

i

$i$

j

$j$

t

$t$

由于无法使用质量术语，因此我无法使用通常的条件logit模型，并且我没有好的仪器。但是，Berry（1994）开发了一种在多项式logit框架中线性化市场方程组非线性系统的策略，但我无法弄清楚他如何进行反演步骤。 $\xi$

在真正的参数值，他说，估计市场份额应该等于“真实的”市场份额：为然后他建议将市场份额从为可以解决并将其消除。如果有人可以阐明该反演步骤的工作原理，甚至可以在Stata中实现它，那就太好了。非常感谢。 $\widehat{s}_{jt} (X, \beta , \alpha , \xi) = S_{jt}$

S_{j t} = {\hat{s}}_{j t} (δ, α, β)

$S_{jt} = \widehat{s}_{jt}(\delta , \alpha , \beta)$

δ = {\hat{s}}^{- 1} (S, α, β)

$\delta = \widehat{s}^{-1}(S, \alpha, \beta)$

ξ

$\xi$

Berry，ST 1994，“估计产品差异的离散选择模型”，兰德经济学期刊，第25卷，第2期，第242-62页

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考虑一个多项式logit模型，其中您将市场份额估计为，其中外部商品归一化为零。取该表达式的对数时，将得到用于内部货物和外部货物：

{\hat{s}}_{j t} = \frac{\exp (δ_{j t})}{1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t})}

$\widehat{s}_{jt} = \frac{\exp(\delta_{jt})}{1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt})}$

\log ({\hat{s}}_{j t}) = δ_{j t} - \log (1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t}))

$\log (\widehat{s}_{jt}) = \delta_{jt} – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

\log ({\hat{s}}_{0 t}) = 0 - \log (1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t}))

$\log (\widehat{s}_{0t}) = 0 – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

然后，您的由并假设给定足够大的样本，则估计的市场份额等于真实的市场份额，如您所说。这可以通过OLS来估计，其中误差项由。请注意，假定市场相互独立。 $\delta_{jt}$

δ_{j t} = \log ({\hat{s}}_{j t}) - \log ({\hat{s}}_{0 t}) = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t}

$\delta_{jt} = \log (\widehat{s}_{jt}) – \log (\widehat{s}_{0t}) = X'_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}$

ξ_{j t}

$\xi_{jt}$

为了阐明这个概念，我们来看一个Stata中的例子。我没有合适的数据集来进行这样的练习，所以让我们假设我们拥有关于

5个产品（prod）
产品价格（p）
售出数量（q）
两种产品特征（x1, x2）

假设商品1是外部商品，其市场份额为10-20％（根据市场而变化），其余部分分配给其他商品。您将在Stata中进行以下操作：

* calculate the market share of your goods in all markets
egen mktsales = sum(q), by(mkt)
gen share = q/mktsales

* generate logs
gen ln_share = ln(share)

* subtract the log share of the outside good from the log share of the inside goods
gen diffshare = .
forval i = 1(1)100 {
    qui sum ln_share if prod==1 & mkt==`i’
    replace diffshare = ln_share - `r(max)’ if mkt==`i’
}

* run the regression
reg diffshare p x1 x2

这使您可以进行Berry反演或Berry logit进行需求估算。需要注意的一件事：如果未观察到的产品特征包括与价格相关的因素（例如产品的质量或广告活动），那么您需要使用工具变量回归。您可以这样做，因为我们已经线性化了市场需求系统，因此可以选择标准2SLS。 $\xi_{jt}$

在这种情况下，您需要一些能够外在改变价格但不会影响需求的东西。经验工业组织经济学中常用的工具是成本转移器（见Berry等，1995），例如鱼的价格受海上恶劣天气的影响，但消费者的需求不会受到影响。在假设消费者对商品估值不依赖于其他产品的特征（参见Nevo，2001）或者如果您对数据具有空间维度的假设下，竞争对手公司的产品特征，Hausman（1997）使用品牌的价格变化假设城市A衡量了城市B的价格。在两个城市中某个品牌的产品共有共同的边际成本但需求不同的情况下，此方法起作用。 $i$

作为替代，Berry等。（1995年）开发了一个随机系数logit模型，该模型给出了更准确的自身价格和交叉价格弹性以及商品之间更灵活的替代方式。

参考文献：

Berry，S.，J.Levinsohn＆A.Pakes（1995），“市场均衡中的汽车价格”，Econmetrica，63，4，4，841-90
Hausman，J.，“在完美和不完全竞争下的新商品评估”，Bresnahan和Gordon（编），《新商品经济学》，《 NBER收入与财富研究》，第58期，1997年，第209-237页
Nevo，A.（2001），“衡量即食谷物行业的市场力量”，《计量经济学》，69，2，307-42

— 安迪
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