通用线性模型（GLM）是否总是存在规范链接函数？

在GLM中，假定基础分布的标量和具有pdf 可以证明。如果链接函数满足以下条件，则其中是线性预测变量，则为此被称为规范链接函数模型。 $Y$ $\theta$

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$

X^{'} β

$X'\beta$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

我的问题是，规范链接功能是否始终存在于GLM中？换句话说，总是可以反转吗？规范链接函数存在的必要条件是什么？ $A'(\theta)$

generalized-linear-model exponential-family

— 伟
source

对于这些分布，和 $A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

由于方差和离差参数非零（甚至是正），所以 $A'(\theta)$ 是严格增加的函数，并且必须是可逆的。

但是，我不确定该家族的分布是否具有无限的方差。我找不到这样的例子。

— 维尼乌斯
source