GLM中的对数似然性是否可以保证收敛到全局最大值？

我的问题是：

1. 是否可以保证广义线性模型（GLM）收敛到全局最大值？如果是这样，为什么？
2. 此外，链接函数对确保凸性有哪些约束？

我对GLM的理解是它们最大化了高度非线性的似然函数。因此，我可以想象有几个局部最大值，您收敛到的参数集取决于优化算法的初始条件。但是，在进行了一些研究之后，我没有找到一个单一的来源来表明存在多个局部最大值。此外，我对优化技术不是很熟悉，但是我知道Newton-Raphson方法和IRLS算法非常容易出现局部最大值。

请尽可能在直观和数学的基础上进行解释！

编辑：dksahuji回答了我的原始问题，但我想在上面添加后续问题[ 2 ]。（“链接函数上有什么约束可确保凸性？”）

指数族的定义是：

$$p(x|\theta) = h(x)\exp(\theta^T\phi(x) - A(\theta)),$$

其中是日志分区函数。现在可以证明以下三种情况适用于一维情况（它们可以推广到更高的维度，您可以研究指数族或对数分区的属性）：$A(\theta)$

1. $\frac{dA}{d\theta} = \mathbb{E}[\phi(x)]$

2. $\frac{d^2A}{d\theta^2} = \mathbb{E}[\phi^2(x)] -\mathbb{E}[\phi(x)]^2 = {\rm var}(\phi(x))$

3. $\frac{ \partial ^2A}{\partial\theta_i\partial\theta_j} = \mathbb{E}[\phi_i(x)\phi_j(x)] -\mathbb{E}[\phi_i(x)] \mathbb{E}[\phi_j(x)] = {\rm cov}(\phi(x)) \Rightarrow \Delta^2A(\theta) = {\rm cov}(\phi(x))$

以上结果证明了是凸的（因为是正半定）。现在我们来看一下MLE的似然函数： c o v（ϕ （x ）$A(\theta)$${\rm cov}(\phi(x))$

$$\begin{align} p(\mathcal{D}|\theta) &= \bigg[\prod_{i=1}^{N}{h(x_i)}\bigg]\ \exp\!\big(\theta^T[\sum_{i=1}^{N}\phi(x_i)] - NA(\theta)\big) \\ \log\!\big(p(\mathcal{D}|\theta)\big) &= \theta^T\bigg[\sum_{i=1}^{N}\phi(x_i)\bigg] - NA(\theta) \\ &= \theta^T[\phi(\mathcal{D})] - NA(\theta) \end{align}$$

现在在theta中是线性的，而是凹的。因此，存在唯一的全局最大值。$\theta^T[\phi(\mathcal{D})]$$-A(\theta)$

有一个通用的版本称为弯曲指数族，它也将类似。但是大多数证明都是规范形式的。