有偏最大似然估计量背后的直觉推理

我对有偏的最大似然（ML）估计量感到困惑。整个概念的数学知识对我来说很清楚，但我无法弄清其背后的直观原因。

给定某个数据集具有来自分布的样本，而该样本集本身是我们要估计的参数的函数，则ML估计器会得出最有可能产生该数据集的参数值。

我不能从以下角度直观地理解偏差ML估计器：参数的最可能值如何在偏向错误值的情况下预测参数的实际值？

ML估算器会得出最有可能在数据集中出现的参数值。

给定假设，ML估计量就是最有可能产生数据集的参数值。

我无法从直觉上理解偏向ML估计器，即“参数的最可能值如何通过偏向错误值来预测参数的实际值？”

偏差是关于样本分布的期望。“最有可能产生数据”与对采样分布的期望无关。为什么期望他们在一起？

令人惊讶的是它们不一定对应的基础是什么？

我建议您考虑一些简单的MLE案例，并思考在这些特定案例中差异是如何产生的。

例如，考虑在上的均匀观测。最大的观测值（不一定）不大于参数，因此参数只能采用至少与最大的观测值一样大的值。$(0,\theta)$

当考虑的似然性时，（显然）θ越接近最大观测值，它的可能性就越大。因此，在最大观察值时将其最大化；显然，这是对θ的估计，它最大程度地增加了获得样本的机会：$\theta$$\theta$$\theta$

$\theta$$\theta$

$U(0,\theta)$$\frac{n}{n+1}$$\theta$$\hat\theta=\frac{n+1}{n}X_{(n)}$$X_{(n)}$

这位于MLE的右侧，因此可能性较低。

$\beta^{MLE}$$\beta$$\beta$$\beta^{MLE}$

$\frac{N}{N-1}$

这是我的直觉。

偏差是对准确性的度量，但也有精度的概念。

在理想的世界中，我们将获得准确而又准确的估算值，即总是能引起轰动。不幸的是，在我们不完美的世界中，我们必须在准确性和精度之间取得平衡。有时我们可能会觉得我们可以给出一些精度来获得更高的精度：我们一直在权衡。因此，估计量有偏差的事实并不意味着它很糟糕：它可能更精确。