推导标准误差的通用方法

我似乎找不到在任何地方导出标准错误的通用方法。我看过Google，这个网站，甚至在教科书上，但我所能找到的只是平均值，方差，比例，风险比等的标准误差公式，而不是这些公式是如何得出的。

如果有人可以用简单的方式来解释它，或者甚至将我链接到一个很好的资源来解释它，我将不胜感激。

standard-error

— 丹尼尔·加德纳（Daniel Gardiner）
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我在stats.stackexchange.com/a/18609/919中提供了一个简单的通用模型，并将其应用了所有细节。这和标准差（近千年至今）许多其他职位可以通过搜索我们的网站找到“标准错误”

— whuber

Answers:

$n$ $n$

$X_i, 1\le i \le n$ $\sigma^2$

Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} = n σ^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n\text{Var}\left(X_i\right) = \sum_{i=1}^n\sigma^2 = n\sigma^2$

$n$ $\text{Var}(kY)=k^2 \text{Var}(Y)$ $k=1/n$

Var (\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

$\text{Var}\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $s$ $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

$X_i$

$p$ $n$ $X_i$ $p(1-p)$ $\sqrt{p(1-p)/n}$ $p$ $np$ $n(1-p)$ $\ge5$ 这里是按比例绘制标准误的工作示例。）

$\pm1$

— 音调
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谢谢，这种方法很有意义，我可以看到它如何适用于均值，但看不到如何将其扩展到其他统计数据。例如，如何找到费率的标准误？还是比率？

— Daniel Gardiner 2014年

我已经更新了我的帖子。关键是可以找到任何分布的均值，方差等数量，从而也可以找到stderr 。但是要做出概率陈述，您需要了解一些有关分布的信息，无论是正态分布，二项式分布或其他。因此，stderr总是可以找到，但是它的用处取决于情况。

— TooTone 2014年

v a r (X_{i}) = σ^{2}

$var(X_i) = \sigma^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

— TooTone

标准误差是统计量的标准偏差（如果要进行测试，则为零假设）。查找标准误差的一般方法是先找到统计量的分布或矩生成函数，再找到第二个中心矩，然后求平方根。

$\mu$ $\sigma^2$ $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ $\mu$ $\sigma^2/n$

独立随机变量的总和是正常的，
$\mathrm{E}\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathrm{E}\left[ X_i \right]$
$X_1$ $X_2$ $\mathrm{Var}\left(a_1 X_1 + a_2 X_2 \right) = a_1^2 \mathrm{Var}\left(X_1\right) + a_2^2 \mathrm{Var}\left( X_2 \right)$

$\sigma/\sqrt{n}$

有捷径，就像您不一定需要查找统计信息的分布，但我认为从概念上讲，如果您知道这些分布，将其隐藏在脑海中会很有用。

— 施奈尔
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