为什么截距的标准

截距项的标准误差（β 0）在Ŷ = β 1 X + β 0 + ε由下式给出小号È （β 0 ）2 = σ 2 [ 1$\hat{\beta}_0$$y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$ 其中ˉX是平均的X我的。

据我了解，在SE量化你的uncertainty-例如，在样本的95％，区间将包含真实β 0。我不明白的SE，不确定性的度量，如何与增加ˉ X。如果我只是转移我的数据，使ˉ X = 0，我的不确定性下降？那似乎是不合理的。$[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$$\beta_0$$\bar{x}$$\bar{x}=0$

类似的解释是-在我的数据的非中心版本对应于我的预测在X = 0，而在中心的数据，β 0对应于我的预测在X = ˉ X。那么，这是否意味着，然后我讲我在预测的不确定性X = 0比我对我的预测在不确定性较大的X = ˉ X？这似乎也是不合理的，对于所有x值，误差ϵ具有相同的方差$\hat{\beta}_0$$x=0$$\hat{\beta}_0$$x=\bar{x}$$x=0$$x=\bar{x}$$\epsilon$$x$，所以我对所有预测值的不确定性都应该相同。$x$

我敢肯定，我的理解存在差距。有人可以帮助我了解发生了什么吗？

由于回归拟合线通过普通最小二乘必然经历的平均数据（即，） -至少，只要你做对的真正价值无法抑制拦截不确定性斜率具有平均值的上线的垂直位置没有影响X（即，在ÿ ˉ X）。这相当于少垂直的不确定性在ˉ X比你从更远ˉ X你。如果截距，其中X = 0是ˉ $(\bar x, \bar y)$$x$$\hat y_{\bar x}$$\bar x$$\bar x$$x=0$$\bar x$，那么这将最大限度地减少你对真正价值的不确定性。在数学方面，这转化为标准误差的最小可能值β 0。 $\beta_0$$\hat\beta_0$

这是一个简单的例子R：

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

$x$$0$$(\bar x, \bar y)$$\hat y$$\bar x$$SE(\hat\beta_0)$$x=10$$x=0$

$y$$x$$x_\text{new}$