从1到100之间的25个随机数中，最高的概率出现多次的概率是多少？

在许多在线游戏中，当玩家完成一项艰巨的任务时，有时会给予特殊奖励，每个完成任务的人都可以使用。这通常是坐骑（运输方式）或其他虚荣物品（不会提高角色性能的物品，主要用于外观定制）。

当给出这样的奖励时，确定谁获得奖励的最常见方法是通过随机数。游戏通常有一个特殊的命令，该命令会生成一个介于1到100之间的随机数（可能是伪随机数，而不是加密安全随机数）（有时玩家可以选择另一种价差，但100是最常见的）。每个玩家都使用此命令，所有玩家都可以看到谁掷出了哪些东西，并且该物品被授予了掷骰最高的人。大多数游戏甚至都具有内置系统，玩家只需按下一个按钮，而每个人都按下按钮后，游戏就会自动完成其余的工作。

有时，有些玩家会产生相同的高数字，而没人能击败他们。这通常由那些重新生成号码的玩家来解决，直到有一个唯一的最高号码为止。

我的问题如下：假设一个随机数生成器可以以相同的概率生成1到100之间的任何数字。假设您有一组25位玩家，每个玩家使用这样的随机数生成器生成1个数字（每个都有自己的种子）。您将拥有25个介于1到100之间的数字，对多少个掷骰子的玩家没有限制，并且数字之间没有关系。超过1个玩家产生最高生成数字的机会是什么？换句话说，平局的可能性是多少？

让

• x = $x$是您范围的上限，在您的情况下，。$x=100$
• n = $n$是总抽奖次数，在您的情况下为。$n=25$

对于任何数字，数字的序列数为，序列中的每个数字。在这些序列中，不包含 s 的数为，而包含一个的数为。因此，具有两个或多个 s 的序列数为 包含最高的个数 为序列的总数至少两个是 Ñ ≤ ÿ ÿ Ñ ý （Ý - 1 ）ñ Ý Ñ （Ý - 1 ）ñ - 1个 Ÿ Ÿ ñ - （Ý - 1 ）ñ - ñ （Ý - 1 ）ñ - 1 ñ ÿ ÿ X Σ y = 1（y n − （y − $y\le x$$n$$\le y$$y^n$$y$$(y-1)^n$$y$$n(y-1)^{n-1}$$y$

$$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$$ $n$$y$$y$ $$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$$

序列的总数仅为。所有序列的可能性均等，因此概率为 $x^n$

$$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$$

在我得出的概率为0.120004212454。$x=100,n=25$

我使用以下Python程序进行了测试，该程序对手动匹配的序列进行计数（对于低），并使用上述公式进行模拟和计算。$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

该程序输出

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

我会考虑找到首先拥有独特赢家的可能性

拥有唯一获胜者且其人数为概率等于，因为获胜者有25种选择，而剩余的数字范围可以从1到$x$$\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$$y-1$

获胜者可以赢得等于2到100的数字，因此总概率为

$$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$$

在这里，我使用了大约的近似值 作为参考：https ://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber的s_formula$100^{23}$

因此，平局的概率为$1-0.88=0.12$

这似乎与生日悖论（http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem）非常相似，唯一的区别是在这种情况下，您不想匹配任何数字，而只希望匹配最高的数字。计算的第一步计算出非随机数重叠的概率（）。（请参见上面的链接），然后25个数字中的一些重叠的概率为，其中p是您已经计算出的概率。在这种情况下，25个数字与最大值不重叠的概率为： 那么您寻找的概率为1 - p p = 1 * （1 - 1 / 100 ）* （1 - 1 / 100 ）。。。。。。* （1 - 1 / 10 ）= （1 - 1 / 100 ）24 P = 1 - p = 1 - （1 - 1 /$p$$1-p$$p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$$P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$