分布\ CLT中的收敛

鉴于 $N = n$ ，条件限制区。的 $Y$ 是 $\chi ^2(2n)$ 。 $N$ 有边际收益。泊松（ $\theta$ ）， $\theta$ 是一个正常数。

证明为 $\theta \rightarrow \infty$ ， $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$ 在分配。

谁能提出解决这个问题的策略。似乎我们需要使用CLT（中心极限定理），但是要获取任何信息似乎很难 $Y$ 在其自己的。是否可以引入rv来取样，生成 $Y$ ？

这是家庭作业这样的提示理解。

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在我看来也很麻烦。也许对您来说已经很明显了，但是当theta-> Infinity时，N会发生什么？

— PeterR 2014年

我应该看看N的分布吗？如果我使用它，它的pdf看起来永远是0。我可以从中推断出什么？

— user42102 2014年

泊松（θ）随机变量的平均值是多少？

— PeterR

我将这个问题中的N与CLT定义中的样本量n混合在一起。所以

E (N) = θ

$E(N) = \theta$ 。因此，我们看到N的期望值接近无穷大。我不知道从哪里去。

— user42102 2014年

您应该查看非中心卡方分布。尽管我担心，证明限制是正常的，比简单的CLT应用要复杂得多。

— caburke 2014年

Answers:

我提供了基于特征函数的属性的解决方案，其定义如下

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$ 我们知道分布是由特征函数唯一定义的，因此我将证明

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$ 并由此达到所需的收敛。

为此，我将需要计算的均值和方差 $Y$ ，我使用总期望/方差定律-http: //en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation。

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$ 我曾经认为泊松分布的均值和方差是

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$ 和的均值和方差

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$ 是

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$ 和

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$ 。现在是具有特征函数的微积分。首先，我重写了

Y

$Y$ 如

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ 现在我使用定理

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$ 的特征功能

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$ 是

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ ，该网址取自此处：http : //en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory）

所以现在我们计算出 $Y$ 使用泰勒展开式 $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$ 最后，我们使用特征函数的属性

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$ 我跳过了微积分，因为它现在太长了...

— 芬巴
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这可以通过与非中心卡方分布的关系来显示。有一篇很好的维基百科文章，我可以自由参考！ https://zh.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

你给的 $Y|N=n$ 与 $2 n$ 自由度，对于 $n=0,1,\dots, \infty$ 。这里 $N$ 具有期望的泊松分布 $\theta$ 。

然后我们有密度函数 $Y$ （无条件）可以使用总概率定律写成

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$ 这几乎是非中心卡方变量的密度，除了自由度参数是

k = 0

$k=0$ ，这确实是不确定的。（这在Wikipedia文章的定义部分中给出）。

因此，为了得到明确的定义，我们将上述公式替换为

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$ 这是非中心卡方变量的密度，其中

k

$k$ 自由度和非中心度参数

2 θ

$2\theta$ 。因此，在我们的分析中，我们必须记住在

k \to 0

$k \rightarrow 0$ 极限之后

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$ 。这是没有问题的，因为在

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$ 的概率

N = 0

$N=0$ 变为零，因此零质量的点质量消失了（自由度为零的方方变量必须解释为零质量的点质量，因此没有密度函数）。

现在，对于每个固定 $k$ ，在wiki中使用结果，在与部分相关的分布中使用正态近似值，从而给出每个标准的正态极限 $k$ 。然后，当 $k$ 变为零，得到结果。

— 凯捷蒂尔·哈沃森
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