指数族分布是否均存在均值和方差？

假设标量随机变量属于具有pdf的矢量参数指数族 $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

其中 ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ 是参数向量， $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ 是联合充分统计量。

可以证明存在每个的均值和方差 $T_i(x)$ 。但是，的均值和方差 $X$ （即 $E(X)$ 和 $Var(X)$ ）是否也总是存在吗？如果不是，是否存在这种形式的指数族分布实例，其均值和变量不存在？

谢谢。

— 伟
source

取，，和得到提供，产生 $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

图形显示为（分别为蓝色，红色和金色）。 $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

显然，不存在权重或更大的绝对矩，因为被渐近与，将在限制产生的会聚积分当且仅当。特别是，当该分布甚至没有均值（当然也没有方差）。 $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— ub
source

我不了解条件。您是说吗？当，未定义且为负且不能为pdf。请让我知道我错过了什么。谢谢。

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— 威

我很抱歉，因为在的计算中省略了减号。我已将其替换为公式。我真的是说。

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— ub

谢谢你的例子。我同意的时刻。本身的瞬间怎么样？例如，在上面的示例中时，是否存在？

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— 威

因为Lebesgue积分是根据被积数的正负部分定义的，所以的矩存在且仅当的矩存在存在。

x

$x$

| x |

$|x|$

— ub

@Wei：仅在。没有此限制，对某些CDF的期望就不会唯一定义。

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— 丹尼斯