获得线性模型中预测极限的公式（即预测间隔）

让我们来看下面的例子：

set.seed(342)
x1 <- runif(100)
x2 <- runif(100)
y <- x1+x2 + 2*x1*x2 + rnorm(100)
fit <- lm(y~x1*x2)

这将使用OLS回归基于x1和x2创建y模型。如果我们希望针对给定的x_vec预测y，则可以简单地使用从中获得的公式summary(fit)。

但是，如果我们要预测y的上下预测怎么办？（对于给定的置信度）。

那我们将如何建立公式？

您将需要矩阵算术。我不确定Excel将如何配合使用。无论如何，这里是细节。

假设您的回归写为。$\mathbf{y} = \mathbf{X}\mathbf{\beta} + \mathbf{e}$

令为行向量，其中包含预测的预测值（与X相同的格式）。然后，预测由下式给出 Ŷ = X * β = X *（X ' X ）- 1 X ' ý 与相关联的方差 σ 2 [ 1 + X *（X ' X ）- 1（X$\mathbf{X}^*$$\mathbf{X}$

$$\hat{y} = \mathbf{X}^*\hat{\mathbf{\beta}} = \mathbf{X}^*(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y}$$ $$\sigma^2 \left[1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'\right].$$ 然后可以计算出95％预测区间（假设正态分布误差）作为 ÿ ± 1.96 这考虑了由于误差项e引起的不确定性和系数估计中的不确定性。但是，它会忽略 X中的任何错误 $$\hat{y} \pm 1.96 \hat{\sigma} \sqrt{1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'}.$$ $e$。因此，如果预测变量的未来值不确定，则使用此表达式计算的预测间隔将太窄。$\mathbf{X}^*$

您是否在不同类型的预测间隔之后碰巧？该predict.lm手册有

 ## S3 method for class 'lm'
 predict(object, newdata, se.fit = FALSE, scale = NULL, df = Inf, 
         interval = c("none", "confidence", "prediction"),
         level = 0.95, type = c("response", "terms"),
         terms = NULL, na.action = na.pass,
         pred.var = res.var/weights, weights = 1, ...)

和

设置“间隔”指定在指定的“级别”上计算置信度或预测（公差）间隔，有时称为窄与宽间隔。

那是你的想法吗？

@Tal：可能我建议Kutner等人作为线性模型的绝佳来源。

$E(Y|X_{vec})$以及3）来自x_vec的多个实例的Y-全部在文本中详细介绍。

$E(Y|X_{vec})$$\hat{Y}$ $\pm$$\alpha$$\hat{Y}$$\hat{Y}$$\hat{Y}$$\frac{\sigma^{2}}{n}$$X_{vec}-\bar{X})^{2}\frac{\sigma^{2}}{\sum(X_{i}-\bar{X})^{2}}$