相同还是不同？贝叶斯方法

说我有以下模型：

Poisson (λ) \sim {\begin{cases} λ_{1} & if t < τ \\ λ_{2} & if t \geq τ \end{cases}

$\text{Poisson}(\lambda) \sim \begin{cases} \lambda_1 & \text{if } t \lt \tau \\ \lambda_2 & \text{if } t \geq \tau \end{cases}$

我从数据中推断出下面所示的和。是否存在贝叶斯方法来判断（或量化）和是相同还是不同？ $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

也许可以测量与不同的概率 $\lambda_1$ $\lambda_2$ ？还是使用KL散度？

例如，如何测量或至少？ $p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$ $p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

总的来说，一旦您获得了如下所示的后验者（假设两者的PDF值到处都是非零值），那么回答这个问题的好方法是什么？

在此处输入图片说明

更新资料

这个问题似乎可以通过两种方式回答：

如果我们有后验的样本，我们可以查看（或等效地）中样本的比例。@ Cam.Davidson.Pilon提供了一个答案，可以使用此类样本解决此问题。 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ $\lambda_2 > \lambda_1$
整合后代的某种差异。这是我问题的重要部分。这种整合是什么样的？大概采样方法可以近似该积分，但是我想知道该积分的表述。

注意：上面的图来自此材料。

distributions bayesian poisson-distribution

— 阿梅里奥·巴斯克斯·雷纳（Amelio Vazquez-Reina）
source

您可以只计算两个分布的方差并将其相加。这就是均值差异的方差。然后计算均值之差，看看有多少标准偏差。您可以使用正态分布来近似估计这两个分布，并以正态分布使用通常的置信区间。它们显然是不同的手段。

— Dave31415

内在的假设检验一个答案

— 斯特凡洛朗

中提供所有所需的计算我的论文，但我没有研究的情况下（是两个泊松率的比值）

H_{0} : {ϕ = 1}

$H_0:\{\phi=1\}$

ϕ

$\phi$

— 斯特凡洛朗

谢谢@StéphaneLaurent。您的论文是一个很好的指针，但它似乎特定于泊松过程。在较高的层次上，贝叶斯可以用来估计与是相同还是不同的比较是什么？分析是否必须针对特定分布？

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

— Amelio Vazquez-Reina 2014年

抱歉@ user023472这些天我没能量了。请参阅我的论文中引用的Bernardo的论文。“本征”是指该方法仅来自模型。

— 斯特凡·洛朗

Answers:

我认为一个更好的问题是，它们有显着不同吗？

要回答这个问题，我们需要计算。称此数量。如果，那么一个机会大于另一个机会相等。另一方面，如果确实接近1，那么我们可以确定yes比更大（读：不同）。 $P(\lambda_2 > \lambda_1)$ $p$ $p \approx 0.50$ $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

我们如何计算？在贝叶斯MCMC框架中这很简单。我们有来自后验的样本，所以让我们计算一下样本大于： $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

 p = np.mean( lambda_2_samples > lambda_1_samples )
 print p

我很抱歉没有在书中包含此内容，我会明确添加它，因为我认为它是贝叶斯推理中最有用的想法之一

— 戴维森·皮隆
source

它们是连续随机变量，因此它们的概率是1.0，它们是不同的。考虑：您先前对猜测是什么？您真的认为他们实际上是平等的吗？（忽略假设检验：我们生活在变量从未真正相等的现实世界中）。请参阅我的英雄盖尔曼的这篇文章。通过计算，您可以通过计算进行测试。

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$ np.mean( lambda_2_samples != lambda_1_samples)

— Cam.Davidson.Pilon 2014年

您可以定义“不相等”如何有意义。例如，如果在您的示例中，任何小于一个的差异实际上都不有意义，那么您可以查看，这将为您提供的有意义的统计量

P (| λ_{1} - λ_{2} | > 1)

$P(|\lambda_1-\lambda_2| > 1)$

P (λ_{1} \neq λ_{2})

$P(\lambda_1 \ne \lambda_2)$

— Sam Dickson

补充一点，如果变量和是离散的，那么就有可能 = 。

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

— Cam.Davidson.Pilon 2014年

哦，天哪，我不想遇到这种情况！它涉及讨厌的积分。对于大多数模型，您实际上无法得出后验。即使可以，为了获得样本，最好还是使用计算机。总而言之，样本>公式可用于此类计算。

— Cam.Davidson.Pilon 2014年

您不是在测量“足够大”。考虑一个峰值为零的分布，另一个峰值为-10、10的质量相等。您的统计量（一个样本大于另一个样本的指标的期望值）为0.5，但分布显然完全不同。

— 尼尔·G

如前所述，这个问题是微不足道的。假设和是连续随机变量。 $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\Pr(\lambda_1=\lambda_2)=0$

我怀疑您对和位于彼此的之内的概率感兴趣。在那种情况下，间隔上两个后密度差的面积就是您的答案。重叠值越大，表示两个后代越相似。 $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\epsilon$ $[-\epsilon/2, \epsilon/2]$

如果您希望使用模拟结果（对于大多数问题，我们没有选择余地），只需将的结果比例作为近似值即可。 $\lambda_2>\lambda_1$

— Sycorax说恢复莫妮卡
source

谢谢。您的答案与《 OP》评论中讨论的一些想法有何关系？

— Amelio Vazquez-Reina

抱歉，但是我对这两种方法都不熟悉，因此我无法进行有意义的评论。不过，@Stéphane_Laurent非常聪明，因此建议您至少浏览一下链接。

— Sycorax说恢复Monica 2014年

@ user023472对不起，我今天没有足够的精力来回答内在差异方法。它基于Kullback-Leibler散度。

— 斯特凡·洛朗

@ user777这需要修复。如果我只想查看概率或怎么办？

ϵ

$\epsilon$

p (λ_{2} > λ_{1})

$p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

p (λ_{2} \neq λ_{1})

$p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$

— Amelio Vazquez-Reina

谢谢@ user777。我对无法访问样本的情况感兴趣。您之前的帖子中有一个积分，但是您似乎已删除它。这个整体看起来像什么？

— Amelio Vazquez-Reina 2014年