均匀分布与正态分布的比率是多少？

令服从均匀分布，服从正态分布。关于可以怎么说？有分配吗？$X$$Y$$\frac X Y$

我发现均值为零的两个法线之比为柯西。

让随机变量与PDF ˚F （X ）：$X \sim \text{Uniform}(a,b)$$f(x)$

这里，我假定（这巢的标准统一（0 ，1 ）的情况）。[如果说参数a < 0，将获得不同的结果，但是过程完全相同。]$0<a<b$$\text{Uniform}(0,1)$$a<0$

此外，让，并让w ^ = 1 / ý与PDF 克（瓦特）：$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$$W=1/Y$$g(w)$

然后，我们寻求的产品的概率密度函数，比方说ħ （v ），其由下式给出：$V = X*W$$h(v)$

我在哪里使用mathStatica的TransformProduct函数来自动处理杂乱无章的内容，在哪里Erf表示错误函数：http : //reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

全部做完。

情节

这是pdf的两个图：

• 区1：，σ = 1，b = 3 ...和... 一个= 0 ，1 ，$\mu = 0$$\sigma = 1$$b = 3$$a = 0, 1, 2$

• 区2：，σ=1，一个=0，b=$\mu = {0,\frac12,1}$$\sigma = 1$$a=0$$b = 1$

蒙特卡洛检查

这是对情节2情况的快速蒙特卡洛检查，只是为了确保没有错误出现：
，σ=1，a=0，b=$\mu = \frac12$$\sigma = 1$$a=0$$b = 1$

蓝线是经验的蒙特卡洛pdf，红色虚线是以上的理论pdf 。看起来不错:)$h(v)$

可以找到Z = X的分布从第一原理，其中X〜ü[0，1]和ÿ〜Ñ（μ，σ2）。考虑Z的累积概率函数：$Z=\frac{X}{Y}$$X\sim U[0,1]$$Y \sim N(\mu,\sigma^2)$$Z$

$$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$$

考虑和Y < 0的两种情况。如果Y > 0，则$Y>0$$Y<0$$Y>0$。类似地，如果 Y < 0，则$\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$$Y<0$。$\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

现在我们知道。为了找到上述概率，请考虑z > 0和z < 0的情况。$-\infty<Z<\infty$$z>0$$z<0$

如果，则概率可以表示为在以下所示区域上（X ，Y ）的联合分布的积分。（使用不等式）$z>0$$(X,Y)$

$$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$$ $f_Y(y)$$Y$

$Z$

$$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$$

可以使用以下转换序列来评估以上积分：

1. $u=\frac{x}{z}$
2. $v=u-\mu$
3. $v$$v$

$$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$$

$\Phi(x)$$z<0$

可以通过仿真验证该答案。R中的以下脚本执行此任务。

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

以下是一些验证图表：

1. $Y\sim N(0,1)$
2. $Y\sim N(1,1)$
3. $y\sim N(1,2)$

$z=0$

$Y$$Y=\mathcal N(7,1)$$\min(Y)>1$$N\le1\rm M$$Y<1$$\frac X Y$$Y<0$set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif