分布如何具有无限的均值和方差？

如果能给出以下例子，将不胜感激：

1. 均值和方差无限的分布。
2. 具有无限均值和有限方差的分布。
3. 具有有限均值和无限方差的分布。
4. 具有有限均值和有限方差的分布。

这是因为我看到了我正在阅读，在Google谷歌搜索和阅读Wilmott论坛/网站上的主题的文章中使用的这些陌生术语（无限均值，无限方差），却没有找到足够清晰的解释。我自己的教科书中也没有找到任何解释。

均值和方差是根据积分定义的。均值或方差为无穷大是对这些积分的极限行为的说明

$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

例如，如果尾巴“足够重”，就会发生这种情况。考虑以下四个有限/无限均值和方差情况的示例：

1. 均值和方差无限的分布。

   实例：Pareto分布与，的ζ（2）分布。$\alpha= 1$

2. 具有无限均值和有限方差的分布。

   不可能。

3. 具有有限均值和无限方差的分布。

   示例：分布。带有帕累托。$t_2$$\alpha=\frac{3}{2}$

4. 具有有限均值和有限方差的分布。

   示例：任何正常。任何统一的东西（实际上，任何有界变量都时刻存在）。。$t_3$

您还可以拥有一个分布，其中的积分是不确定的，但不一定超出限制中的所有有限范围。

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查尔斯·盖尔（Charles Geyer）的这些笔记讨论了如何用简单的术语计算相关积分。似乎在这里处理Riemann积分，它只涉及连续的情况，但积分的更一般的定义（例如Stieltjes）将涵盖您可能需要的所有情况[Lebesgue积分是量度理论中使用的积分形式（这是概率的基础），但此处的要点对于更基本的方法也可以正常工作]。它还涵盖了（第2.5节，第13-14页）为什么“ 2”。不可能（如果存在方差，则存在均值）。

稳定的分布提供了您所寻找的好参数的示例：

1. 无限均值和方差：$0 < \text{stability parameter} < 1$

2. 不适用

3. 有限均值和无限方差：$1 \leq \text{stability parameter} < 2$

4. 有限均值和方差：（高斯）$\text{stability parameter} = 2$

这里没有人提到圣彼得堡悖论；否则，我不会在这个已经具有多个答案（包括一个“已接受”答案）的旧主题中发布帖子。

如果硬币落在“正面”，您将赢得一分钱。

如果是“尾巴”，则获胜加倍，如果第二次掷骰“头”，则您赢取2美分。

如果第二次“尾巴”，则赢利再次翻倍；如果第三次“正面”，则赢取4美分。

依此类推： 乘积之和为因此这是一个无限的期望值。

$$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$ $\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

这意味着，如果您为每次掷硬币支付万美元，或万亿美元等，那么您最终会领先一步。当您不太可能每次赢取超过几美分的钱时，怎么可能呢？$\$1$$\$1$

答案是，在极少数的情况下，您会遇到一连串的拖尾，因此，奖金将弥补您所付出的巨大费用。不管您为每次掷球付出多高的价格，这都是事实。

关于您要查找的第二个分布，考虑随机变量 则答案是无限的，概率为1，因此方差为零，且均值为分布的值是无限的。

$$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$$