分布如何具有无限的均值和方差?


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如果能给出以下例子,将不胜感激:

  1. 均值和方差无限的分布。
  2. 具有无限均值和有限方差的分布。
  3. 具有有限均值和无限方差的分布。
  4. 具有有限均值和有限方差的分布。

这是因为我看到了我正在阅读,在Google谷歌搜索和阅读Wilmott论坛/网站上的主题的文章中使用的这些陌生术语(无限均值,无限方差),却没有找到足够清晰的解释。我自己的教科书中也没有找到任何解释。


1
上面列表中的情况2是不可能的。
kjetil b halvorsen 2015年



2
通过询问这四个具体示例,我认为这是一个独特的问题,不应重复讨论,尽管另一个问题当然是相关且有用的。
银鱼

1
在这4个例子中,实际上只有1、3和4是可能的,并且可以为1和4给出简单的例子。柯西是1的例子,高斯是4的例子。不可能很好地定义方差如果.mean不存在。因此2是不可能的。3的示例将很有趣。
Michael R. Chernick

Answers:


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均值和方差是根据积分定义的。均值或方差为无穷大是对这些积分极限行为的说明

lima,babx dFlima,babxf(x) dx

例如,如果尾巴“足够重”,就会发生这种情况。考虑以下四个有限/无限均值和方差情况的示例:

  1. 均值和方差无限的分布。

    实例:Pareto分布与,的ζ(2)分布。α=1

  2. 具有无限均值和有限方差的分布。

    不可能。

  3. 具有有限均值和无限方差的分布。

    示例:分布。带有帕累托。t2α=32

  4. 具有有限均值和有限方差的分布。

    示例:任何正常。任何统一的东西(实际上,任何有界变量都时刻存在)。。t3

您还可以拥有一个分布,其中的积分是不确定的,但不一定超出限制中的所有有限范围。


查尔斯·盖尔(Charles Geyer)的这些笔记讨论了如何用简单的术语计算相关积分。似乎在这里处理Riemann积分,它只涉及连续的情况,但积分的更一般的定义(例如Stieltjes)将涵盖您可能需要的所有情况[Lebesgue积分是量度理论中使用的积分形式(这是概率的基础),但此处的要点对于更基本的方法也可以正常工作]。它还涵盖了(第2.5节,第13-14页)为什么“ 2”。不可能(如果存在方差,则存在均值)。


7
+1(2)不可能的原因很简单:方差是根据均值定义的。稍微深一点的事实是,当的第二个矩是有限的时,则均值必须是有限的。为如果平均是无穷大,则更不用说因为二次矩是加权的值的第二时刻必须是无限不仅由概率也可由本身()。这些权重无限制地增长,导致第二时刻最终超过第一时刻的绝对值。XXXX2=X×X
ub

4
@whuber,但是您可以在不参考均值的情况下定义方差(例如,根据对值对平方差的期望),因此问题并不那么简单。实际上更需要第二个参数。
Glen_b 2014年

3
很好,但是如果我们接受方差的任何替代定义在代数上都等同于所有分布的常规定义,那么如果根据一个定义未定义,则在逻辑上似乎足以证明未定义去商场。您提到的替代方法最先出现在随机过程的研究中,其中各种定义都不相同。
ub

2
是的,我愿意。作为非负随机变量的期望的方差等于仅正部分的Lebesgue积分 因此,无论是什么,它都是有限的或无穷大的(在扩展数字行中)。非负数的这种性质将偶数矩的分析与其他矩的分析区别开来,后者可能无法定义。
ub

2
方差的定义是等于。E[(XE(X))2]
ub

5

稳定的分布提供了您所寻找的好参数的示例:

  1. 无限均值和方差:0<stability parameter<1

  2. 不适用

  3. 有限均值和无限方差:1stability parameter<2

  4. 有限均值和方差:(高斯)stability parameter=2


1

这里没有人提到圣彼得堡悖论;否则,我不会在这个已经具有多个答案(包括一个“已接受”答案)的旧主题中发布帖子。

如果硬币落在“正面”,您将赢得一分钱。

如果是“尾巴”,则获胜加倍,如果第二次掷骰“头”,则您赢取2美分。

如果第二次“尾巴”,则赢利再次翻倍;如果第三次“正面”,则赢取4美分。

依此类推: 乘积之和为因此这是一个无限的期望值。

outcomewinningsprobabilityproductH11/21/2TH21/41/2TTH41/81/2TTTH81/161/2TTTTH161/321/2TTTTTH321/641/2
12+12+12+=+,

这意味着,如果您为每次掷硬币支付万美元,或万亿美元等,那么您最终会领先一步。当您不太可能每次赢取超过几美分的钱时,怎么可能呢?$1$1

答案是,在极少数的情况下,您会遇到一连串的拖尾,因此,奖金将弥补您所付出的巨大费用。不管您为每次掷球付出多高的价格,这都是事实。


-1

关于您要查找的第二个分布,考虑随机变量 则答案是无限的,概率为1,因此方差为零,且均值为分布的值是无限的。

X2=number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

那是一个有趣的例子,但是对于计算,您需要一个扩展的实数系统,其中。=0
kjetil b halvorsen
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